Question

questao sobre derivadas ​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = 2x {}^{2} - 3x$

• A questão quer saber qual a equação da reta tangente a uma curva, para isso vamos usar alguns artifícios da derivada.

A primeira coisa que devemos fazer é consolidar o ponto em que a reta tangente toca a curva, o enunciado nos diz que o ponto é dado por (1, f(1)), ou seja, para descobrir a ordenada (y), devemos calcular o f(1) a partir da função fornecida.

$f(x) = 2x {}^{2} - 3x \rightarrow f(1) \\ f(1) = 2.1 { }^{2} - 3.1 \\ f(1) = 2 - 3 \\ f(1) = - 1$

Portanto temos que o ponto é (1, -1).

• Tendo o consolidado o ponto, vamos partir para o próximo passo.

Pela definição algébrica de derivada, sabemos que a mesma representa a inclinação de uma reta, ou seja, o coeficiente angular, sabemos também que uma reta é expressa através da seguinte equação:

$y = mx + n$

Onde o "m" é o coeficiente angular que consequentemente corresponde a derivada, então vamos derivar a função fornecida pela questão e ao final devemos substituir o valor da abscissa que possuímos que é (1).

$y = 2x {}^{2} - 3 x\\ y' = 2.2.x {}^{2 - 1} -1. 3x^{1-1}\\ y' = 4x-3 \\ derivada \rightarrow coeficiente \: angular \: (m) \\ m = 4x-3 \\ m = 4.1-3 \\ m = 1$

Substituindo o valor de "m" na expressão que caracteriza uma reta:

$y = mx + n \\ y = 1x + n$

Por fim devemos descobrir "n", para isso basta substituir os valores do ponto que consolidamos no começo da questão (1, -1).

$y = 1x + n \rightarrow (1, -1)\\ - 1 = 1.1 + n \\ - 1 = 1 + n \\ n = - 1 - 1 \\ n = - 2$

Substituindo mais uma vez na expressão da reta:

$\boxed{ \large y = x - 2}$

Essa é a equação da reta tangente.

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

y = x - 2

Explicação passo-a-passo:

f(1) = 2 . 1² - 3 . 1

f(1) = 2 - 3

f(1) = - 1, o ponto é (1, - 1)

Pela definição:

mt = f'(x) = lim h → 0 [f(x + h) - f(x)]/h

mt = f'(x) = lim h → 0 [2(x + h)² - 3(x + h) - 2x² + 3x]/h

mt = f'(x) = lim h → 0  [2(x² + 2xh + h²) - 3x - 3h - 2x² + 3x]/h

mt = f'(x) = lim h → 0 [2x² + 4xh + 2h² - 3h - 2x²]/h

mt = f'(x) = lim h → 0 [4xh + 2h² - 3h]/h

mt = f'(x) = lim h → 0 h[4x + 2h - 3]/h

mt = f'(x) = lim h → 0 [4x + 2h - 3]

mt = f'(x) = lim h → 0 [4x + 2 . 0 - 3]

mt = f'(x) = lim h → 0 [4x - 3]

mt = 4x - 3, para x = 1

mt = 4 . 1 - 3

mt = 4 - 3

mt = 1

Agora:

y - yo = m(x - x0)

y - (- 1) = 1(x - 1)

y + 1 = x - 1

y = x - 1 - 1

y = x - 2