Question

Questão relacionada a matrizes:

Uma prova é composta por 50 questões, de modo que a cada questão correta o aluno ganha três
pontos e a cada errada perde dois pontos. Se, ao terminar a prova e tendo respondido a todas as questões, a pontuação total é de 75 pontos, quantas questões estão certas e quantas estão erradas?
(Por favor me ajudem é muito importante responder essa questão pro meu trabalho da faculdade.)

Answer 1

Sejam

$x$ o número de questões corretas

$y$ o número de questões erradas.


Como o número total de questões é $50$, temos que

$x+y=50\;\;\;\;\text{(i)}$


Para cada questão corretas o aluno ganha $3$ pontos, e para cada questão errada, perde $2$ pontos. Logo, a expressão que informa o total de pontos obtidos é

$3x-2y$


Se ao terminar a prova, a pontuação total é $75$ pontos, então

$3x-2y=75\;\;\;\;\text{(ii)}$


As equações $\text{(i)}$ e $\text{(ii)}$ formam um sistema linear:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y&=&50\\ 3x-2y&=&75 \end{array} \right.$


Podemos reescrever este sistema em sua forma matricial, assim:

$\underbrace{\left[ \begin{array}{cc} 1&1\\ 3&-2 \end{array} \right]}_{\mathbf{A}} \cdot \underbrace{\left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right]}_{\mathbf{X}}= \underbrace{\left[ \begin{array}{c} 50\\ 75 \end{array} \right]}_{\mathbf{B}}\\ \\ \\ \mathbf{A}\cdot \mathbf{X}=\mathbf{B}$


Agora, basta resolver este sistema. Vou utilizar a regra de Cramer.


a) Calculando o determinante de $\mathbf{A}$:

$\det \mathbf{A}=\det \left[ \begin{array}{cc} 1&1\\ 3&-2 \end{array} \right]\\ \\ \det \mathbf{A}=1 \cdot \left(-2 \right )-3 \cdot 1\\ \\ \det \mathbf{A}=-2-3\\ \\ \det \mathbf{A}=-5 \neq 0$

Como o determinante é diferente de zero, então o sistema é possível e determinado (possui uma única solução).


b) Calcular os determinantes das incógnitas.

$\bullet\;\;$ O determinante da incógnita $x$, $\Delta x$ é o determinante da matriz que se obtém ao substituirmos a primeira coluna da matriz $\mathbf{A}$ pela matriz $\mathbf{B}$:

$\Delta x=\det\left[ \begin{array}{cc} 50&1\\ 75&-2 \end{array} \right ]\\ \\ \Delta x=50 \cdot \left(-2 \right )-75\cdot 1\\ \\ \Delta x=-100-75\\ \\ \Delta x=-175$


$\bullet\;\;$ O determinante da incógnita $y$, $\Delta y$ é o determinante da matriz que se obtém ao substituirmos a segunda coluna da matriz $\mathbf{A}$ pela matriz $\mathbf{B}$:

$\Delta y=\det\left[ \begin{array}{cc} 1&50\\ 3&75 \end{array} \right ]\\ \\ \Delta y=1\cdot 75-3\cdot 50\\ \\ \Delta y=75-150\\ \\ \Delta y=-75$


c) Achar os valores de $x$ e $y$:

$x=\dfrac{\Delta x}{\det \mathbf{A}}\\ \\ x=\dfrac{-175}{-5}\\ \\ x=35\\ \\ \\ y=\dfrac{\Delta y}{\det \mathbf{A}}\\ \\ y=\dfrac{-75}{-5}\\ \\ y=15$


Logo, $35$ questões estão corretas e $15$ questões estão erradas.