Question

Questão número 5.

Seja f uma função de classe C^infinito inversivel. Calcule
$f( {f}^{ - 1} )(5)$
sabendo que f(4) = 5 e f'(4) = 2/3.

Answer 1

Olá!

       Primeiro note que

$f(4)=5\Rightarrow f^{-1}(f(4))=f^{-1}(5)\Rightarrow f^{-1}(5)=4.$

      Sendo a função dada inversível, e sabendo que é derivável em

$x_0=4=f^{-1}(5)\neq{0},$

e   $f^{-1}$   é contínua em 5 (pois   $f$  é de classe   $C^{\infty}$    e   $f^{-1}(5)=4$  ), então, pelo Teorema da Função Inversa (para derivadas) segue que

$(f^{-1})'(5)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(5))}=\dfrac{1}{f'(4)}=\dfrac{1}{\frac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}.$

Bons estudos!