Question

Questão número 5 ..

Envolve conceitos básicos de primeira grau , porém , aprofundados

Answer 1

a) Temos que, $(n+1)(n+3)=n^2+3n+n+3=n^2+4n+3$.

Assim, $1+(n+1)(n+3)=1+n^2+4n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2$.

Deste modo, $\sqrt{1+(n+1)(n+3)}=\sqrt{(n+2)^2}=n+2$.

b) Pelo item anterior, $\sqrt{1+(n+1)(n+3)}=n+2$. Veja que, $n(n+2)=n^2+2n$.

E $1+n(n+2)=1+n^2+2n=(n+1)^2$. Com isso,

$\sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}}=\sqrt{(n+1)^2}=n+1$.

c) Pelo item anterior, $\sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}}=n+1$. 

Tomando $n=2011$, temos:

$\sqrt{1+2011\sqrt{1+(2012)(2014)}}=2011+1=2012$

Com isso, 

$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\dots+\sqrt{2010\sqrt{1+2011\sqrt{1+(2012)(2014)}}}}}}}=$

$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\dots+\sqrt{2010\cdot2012}}}}}$

Pelo item a), $\sqrt{1+(n+1)(n+3)}=n+2$. Tomando $n=2009$, temos:

$\sqrt{1+2010\cdot2012}=2009+2=2011$.

Após isso, iremos obter $\sqrt{1+2009\cdot2011}=2010$.

Depois $\sqrt{1+2008\cdot2010}=2009$.

E assim sucessivamente. 

Até $\sqrt{1+2\cdot4}=\sqrt{1+8}=1+2=3$.