Question

Questão nº 03) Dados log2 = 0,301 ; log3 = 0,477 e log 5 =0,699, calcule:
a) Log24
b)log72
c) log 600
d) log 45
e) log 2,5 f) log 900

como resolve isso ?​

Answer 1

Neste exercício, vamos utilizar a fatoração e propriedades logarítmicas para reescrever os logaritmos solicitados em função dos logaritmos conhecidos (dados no enunciado).

$Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\log_b (a\cdot c)=\log_b a+\log_b c}\\\\\\Propriedade~do~Logaritmo~do~Quociente:~~\boxed{\log_b \left(\dfrac{a}{c}\right)=\log_b a-\log_b c}\\\\\\Propriedade~do~Logaritmo~da~Potencia:~~\boxed{\log_b a^c=c\cdot\log_b a}$

a)

Fatorando o logaritmando:

$\log24~=~\log\,(2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)\\\\\\\log24~=~\log\,(2^3\cdot 3)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log24~=~\log2^3~+~\log3$

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência:

$\log24~=~3\cdot \log2~+~\log3$

Substituindo os valores dos logaritmos:

$\log24~=~3\cdot 0,301~+~0,477\\\\\\\log24~=~0,903~+~0,477\\\\\\\boxed{\log24~=~1,380}$

b)

Fatorando o logaritmando:

$\log72~=~\log\,(2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3)\\\\\\\log72~=~\log\,(2^3\cdot 3^2)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log72~=~\log2^3~+~\log3^2$

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência:

$\log24~=~3\cdot \log2~+~2\cdot \log3$

Substituindo os valores dos logaritmos:

$\log72~=~3\cdot 0,301~+~2\cdot0,477\\\\\\\log72~=~0,903~+~0,954\\\\\\\boxed{\log72~=~1,857}$

c)

Fatorando o logaritmando:

$\log600~=~\log\,(2\cdot 3\cdot 10\cdot 10)\\\\\\\log600~=~\log\,(2\cdot 3\cdot 10^2)\\\\\\Perceba~que~a~fatoracao~nao~utilizou~exclusivamente~fatores~primos,\\mas~poderiamos~tambem~ter~fatorado~em:~600=(2^3\cdot 3\cdot 5^2)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log600~=~\log2~+~\log3~+~\log10^2$

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência:

$\log600~=~\log2~+~\log3~+~2\cdot \log10$

Substituindo os valores dos logaritmos:

$\log600~=~0,301~+~0,477~+~2\cdot 1\\\\\\\log600~=~0,301~+~0,477~+~2\\\\\\\boxed{\log600~=~2,778}$

d)

Fatorando o logaritmando:

$\log45~=~\log\,(3\cdot 3\cdot 5)\\\\\\\log45~=~\log\,(3^2\cdot 5)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log45~=~\log3^2~+~\log5$

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência:

$\log45~=~2\cdot \log3~+~\log5$

Substituindo os valores dos logaritmos:

$\log45~=~2\cdot 0,477+0,699\\\\\\\log45~=~0,954+0,699\\\\\\\boxed{\log45~=~1,653}$

e)

Reescrevendo o logaritmando na sua forma fracionaria:

$\log2,5~=~\log\left(\dfrac{25}{10}\right)$

Fatorando o numerador e denominador do logaritmando:

$\log2,5~=~\log\left(\dfrac{5\cdot 5}{2\cdot 5}\right)\\\\\\\log2,5~=~\log\left(\dfrac{5}{2}\right)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente:

$\log2,5~=~\log5~-~\log2$

Substituindo os valores dos logaritmos:

$\log2,5~=~0,699~-~0,301\\\\\\\boxed{\log2,5~=~0,398}$

f)

Fatorando o logaritmando:

$\log900~=~\log\,(3\cdot 3\cdot 10\cdot 10)\\\\\\\log900~=~\log\,(3^2\cdot 10^2)\\\\\\Perceba~que~a~fatoracao~nao~utilizou~exclusivamente~fatores~primos,\\mas~poderiamos~tambem~ter~fatorado~em:~900=(2^2\cdot 3^2\cdot 5^2)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log900~=~\log3^2~+~\log10^2$

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência:

$\log900~=~2\cdot \log3~+~2\cdot \log10$

Substituindo os valores dos logaritmos:

$\log900~=~2\cdot 0,477~+~2\cdot 1\\\\\\\log900~=~0,954~+~2\\\\\\\boxed{\log900~=~2,954}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$