Question

Questão: Na circunferência de centro representada a seguir, suponha que uma formiga vai percorrer,
de uma só vez, o caminho em vermelho partindo de B e chegando em A Suponha também que outra formiga
vai percorrer, de uma só vez, o caminho em azul partinde de O e chegando em A Considerando que a
velocidade das formigas é igual, qual delas vai chegar primeiro em A?​

Answer 1

Comparando $\large \sf \ell_v \ e \ \ell_a$ observa-se que $\large \sf \ell_a \ < \ \ell_v$ portanto a formiga que percorrer o caminha azul chegará primeiro no ponto A.

• Considere:

nah: Notação anti-horária

• Observe que o caminho vermelho corresponde ao comprimento do arco $\Large \sf \underset{AB}{\frown}$ (nah) e o caminho em azul corresponde ao comprimento do raio da circunferência (6 dm) mais o arco $\Large \sf \underset{BA}{\frown}$ (nah).
• Determine esses dois comprimentos e verifique qual é mais curto pois a formiga que percorrer o caminho mais curto chagará primeiro..

• Observe a figura anexa. O comprimento de um arco de circunferência é obtido por:

ℓ = α ⋅ r  ⟹ para a medida do ângulo α em radianos.

ou

$\large \sf \ell = \dfrac {\pi}{180} \cdot\alpha \cdot r$  ⟹ para a medida do ângulo α em graus.

• onde:

ℓ: comprimento do arco de circunferência.

r: raio da circunferência.

α: ângulo do arco.

• Calcule o comprimento do caminho vermelho, observando que o ângulo relativo a ele é 360 − 135 = 225°.

$\large \sf \ell_v = \dfrac {\pi}{180} \cdot\alpha_v \cdot r$

$\large \sf \ell_v = \dfrac {\pi}{180} \cdot 225 \cdot 6$

$\large \sf \ell_v = 7,5 \cdot \pi$

$\large \sf \ell_v = 23,56 \ dm$

• Calcule o comprimento do caminho azul, observando ele se refere ao comprimento do raio mais o arco de 135°.

$\large \sf \ell_a = r + \dfrac {\pi}{180} \cdot\alpha_a \cdot r$

$\large \sf \ell_a = 6 + \dfrac {\pi}{180} \cdot 135 \cdot 6$

$\large \sf \ell_a = 6 + 4,5 \cdot \pi$

$\large \sf \ell_a = 20,14 \ dm$

• Comparando $\large \sf \ell_v \ e \ \ell_a$ observa-se que $\large \sf \ell_a \ < \ \ell_v$ portanto a formiga que percorrer o caminha azul chegará primeiro no ponto A.

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