Question

Questão n° 25Se log2, log (2 - 1) e log(2J + 3), nessa ordem, estão em progressão aritmética crescente, então o valor de x éa)2b)log, 3c)log, 5d)23e)25

Answer 1

Como os três termos estão em progressão aritmética, podemos dizer que o termo log (2^x - 1) é a média aritmética entre os outros dois termos, então:

$log(2^x-1) = \dfrac{log2 + log(2^x+3}{2} \\ \\ 2log(2^x-1) = log2 + log(2^x+3)$

Vamos aplicar duas propriedades do logaritmo, a primeira é que um logaritmo multiplicado por uma constante pode ser escrito como o logaritmo do valor elevado a esta constante:

$k*log(x) = log (x^k)$

A segunda é que uma soma de logaritmos de mesma base pode ser escrita como um único logaritmo multiplicando estes valores:

$log(a) + log(b) = log(a*b)$

Temos então que:

$log(2^x-1)^2 = log(2(2^x+3)\\ (2^x-1)^2 = 2(2^x+3)$

Vamos fazer 2^x = t:

$(t-1)^2 = 2(t+3)\\ t^2 -2t+1 = 2t+6\\ t^2-4t-5=0\\ (t-5)(t+1)=0$

Portanto temos que os valores de t podem ser 5 e -1. Podemos descartar o -1 pois t = 2^x (que é sempre positivo), então neste caso:

$2^x = 5\\ x = log_2(5)$

Resposta: letra C