Question

Questão modificada da UNICAMP

O quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também um quadrado.
Supondo que a área desse quadrado menor seja de 72 cm², calcule o comprimento total de uma semicircunferência que circunscreve o quadrado maior.

Answer 1

Descobrindo o lado do quadrado menor:
$Sq'=l'^2$
$l'^2=72$
$l'=\sqrt{72}$
$l'=6\sqrt{2}cm$

Como o quadrado menor é formado pela união dos pontos médios do quadrado maior, a diagonal do quadrado menor é igual ao lado do quadrado maior.
$d'=l''$
$d'=l'\sqrt{2}$
$d'=6\sqrt{2}*\sqrt{2}$
$d'=6*2$
$d'=12cm$
$l''=12cm$

Corrigindo:
O raio da semicircunferência é dado por:
$\boxed{r^2=(\frac{l''}{2})^2+l''^2}$
$\boxed{r^2=(\frac{12}{2})^2+12^2}$
$\boxed{r^2=(6)^2+12^2}$
$\boxed{r^2=36+144}$
$\boxed{r^2=180}$
$\boxed{r=\sqrt{180}}$
$\boxed{r=6\sqrt{5}cm}$

Diâmetro da semicircunferência:
$D=12\sqrt{5}cm$

Cumprimento da semicircunferência:
$\boxed{Csc=\frac{2 \pi r}{2}+D}$
$\boxed{Csc=\pi r+D}$
$\boxed{Csc=6\pi\sqrt{5}+12\sqrt{5}}$
$\boxed{\boxed{Resposta:Csc=6\sqrt{5}(\pi+2)cm}}$

Answer 2

Vamos determinar o lado l do quadrado maior cujas metades adjacentes de dois lados consecutivos formam com o lado l' = √72 = 6√2 do quadrado menor um triângulo retângulo.

$\displaystyle l'^2 = \left( \frac{l }{ 2}\right)^2 + \left( \frac{l }{ 2}\right)^2$

$\displaystyle l'^2= 2 \cdot \left( \frac{ l }{ 2 } \right)^2$

$\displaystyle 2 \cdot \left(\frac{ l }{ 2 } \right)^2 = l'^2$

$\displaystyle 2 \cdot \frac{ l^2 }{ 4 } = (6 \hspace{0,07cm}\sqrt[]{2})^2$

$\displaystyle \frac{ l^2 }{ 2 } = 36 \cdot 2$

$\displaystyle l^2 = 144$

$\displaystyle l = \sqrt[]{144}$

$\displaystyle l = 12 \, \, cm$

O lado l e sua metade, formam com raio da semicircunferência outro triângulo retângulo, portanto usamos o teorema de Pitágoras:

$\displaystyle r^2 = l^2 + \left( \frac{ l }{ 2 } \right)^2$

$\displaystyle r^2 = l^2 + \frac{ l^2 }{ 4 }$

$\displaystyle r^2 = \frac{ 4l^2 }{ 4 } + \frac{ l^2 }{ 4 }$

$\displaystyle r^2 = \frac{ 4l^2 + l^2 }{ 4 }$

$\displaystyle r^2 =\frac{5l^2}{4}$

$\displaystyle r^2 = \frac{ 5 \cdot 12^2 }{ 4 }$

$\displaystyle r^2 = \frac{ 5 \cdot 144 }{ 4 }$

$\displaystyle r^2 = 5 \cdot 36$

$\displaystyle r^2 = 180$

$\displaystyle r = \sqrt[]{180}$

Fatoramos 180:

180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 | (2² • 3² • 5)

Temos:

$\displaystyle r = 2 \cdot 3 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{5}$

$\displaystyle r = 6 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{5}$

Como C = 2πr e temos uma semicircunferência, seu comprimento será:

$\displaystyle C = \frac{ 2 \pi r }{ 2 } + 2 \cdot r$

$\displaystyle C = 6 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{5} \cdot \pi + 2 \cdot 6 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{5}$

$\displaystyle C = 6 \pi \hspace{0,07cm} \sqrt[]{5} + 12 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{5}$

$\displaystyle C = 6(\pi \hspace{0,07cm} \sqrt[]{5} + 2\hspace{0,07cm} \sqrt[]{5}) \, \, cm$
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