Question

Questão fácil, se possível responda usando métodos alternativos.

Se 

$\boxed{ \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=256}$

qual é o valor de n?

Answer 1

Uma das propriedades da análise combinatória bem interessante nos diz que:

$\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}+\dots+\dbinom{n}{n}=2^{n}$

Com isso, pelo enunciado, $2^{n}=256$, ou seja, $2^{n}=2^8$, donde, $n=8$.

Mas, poderíamos resolver por outro caminho. Imagine um conjunto formado por $n$ elementos:

$A=\{a_1,a_2,a_3,\dots,a_n\}$.

O número de subconjuntos de $A$ formados por apenas um elemento é $\dbinom{n}{1}$.

O número de subconjuntos de $A$ formados por dois elementos é $\dbinom{n}{2}$

E assim sucessivamente, até o número de subconjuntos de $A$ formados por $n$ elementos ser $\dbinom{n}{n}$.

Com isso, a quantidade de subconjuntos não vazios de $A$ é:

$\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}+\dbinom{n}{3}+\dots+\dbinom{n}{n}$.

Mas, veja que, há duas possibilidades para cada um dos $n$ elementos de $A$: ou ele está no subconjunto ou não está.

Com isso, o número de subconjuntos não vazios de $A$ é $2^{n}-1$.

Assim:

$\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}+\dbinom{n}{3}+\dots+\dbinom{n}{n}=2^{n}-1$.

Pelo enunciado, obtemos:

$\dbinom{n}{0}+2^{n}-1=256$

$1+2^{n}-1=256$

$2^{n}=256$, isto é, $2^{n}=2^8$ e obtemos $n=8$.