Question

Questão: em cada circunferência, representada a seguir, os ângulos central e inscrito em destaque correspondem ao mesmo arco de circunferência. Determine, em graus, as medidas desses ângulos.​

Answer 1

Os ângulos central e inscrito medem respectivamente:

a) 54°e 27°

b) 160°e 80°

c) 48°e 24°

d) 90°e 45°

• Observe a figura anexa e tome como exemplo o item A.

• Ângulo central é aquele cujo vértice está no centro da circunferência portanto o ângulo AOB é central e é relativo ao arco AB.
• Propriedade do ângulo central: A medida do ângulo central é igual à medida do arco relativo a ele.

• Ângulo inscrito é aquele cujo vértice está na circunferência portanto o ângulo ACB é inscrito na circunferência e é relativo ao arco AB.
• Propriedade do ângulo inscrito: A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco relativo a ele.

• Baseado nas duas propriedades anteriores conclui-se que:

P1: A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central.

ou

P2: A medida do ângulo central é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito.

• No item A observe que os ângulos (3x+6) e (2x−5) são relativos ao mesmo arco AB. Aplique a propriedade P2 e determine o valor de x.

3x + 6 = 2⋅(2x − 5)

3x + 6 = 4x − 10

3x − 4x = −10 − 6

−x = −16

x = 16°

• Substitua o valor de x nas expressões algébricas dos ângulos central e inscrito e determine seus valores.

3x + 6 = 3×16 + 6 = 48 + 6 = 54°

2x − 5 = 2×16 − 5 = 32 − 5 = 27°

• Observação 1: Conforme a propriedade P1, se o ângulo inscrito é a metade do ângulo central pode-se também simplesmente dividir 54 por 2 para determinar o valor do ângulo inscrito: 54 ÷ 2 = 27°.

• No item B os dois ângulos são relativos ao arco ED. Aplique a propriedade P2 e determine o valor de x.

32x = 2(12x + 20) ⟹ Divida ambos os membros por 2.

16x = 12x + 20 ⟹ Subtraia 12x de ambos os membros.

16x − 12x = 20

4x = 20 ⟹ Divida ambos os membros por 4.

x = 5°

• Substitua o valor de x nas expressões algébricas do ângulo central e determine seu valor.

32x = 32 × 5 = 160°

Conforme observação 1, o ângulo inscrito mede 160 ÷ 2 = 80°

• No item C os dois ângulos são relativos ao arco HG. Aplique a propriedade P2 e determine o valor de x.

$\large \sf \dfrac{3x}{4} = 2 \left (\dfrac {x}{2} - 8 \right)$  ⟹ Multiplique ambos os membros por 4.

$\large \sf 3x = 8 \cdot\left( \dfrac {x}{2}-8 \right)$

3x = 4x − 64

3x − 4x = − 64

−x = −64 ⟹ Multiplique ambos os membros por −1.

x = 64°

• Substitua o valor de x nas expressões algébricas dos ângulos e determine seus valores.

$\large \sf \dfrac {3x}{4} = \dfrac {3 \times 64}{4} = 48 \textdegree$

$\large \sf \dfrac {x}{2} - 8 = \dfrac {64}{2} - 8 = 32 - 8 = 24\textdegree$

Conforme observação 1, o ângulo inscrito pode ser calculado também por:  48 ÷ 2 = 24°

• No item D os dois ângulos são relativos ao arco KJ. Aplique a propriedade P2 e determine o valor de x.

$\large \sf 6x = 2 \left (\dfrac {8x}{5} + 21 \right)$  ⟹ Divida ambos os membros por 2.

$\large \sf 3x = \dfrac {8x}{5}+21$  ⟹ Multiplique ambos os membros por 5.

15x = 8x + 105 ⟹ Subtraia 8x de ambos os membros.

15x − 8x = 105

7x = 105 ⟹ Divida ambos os membros por 7.

x = 15°

• Substitua o valor de x na expressão algébrica do ângulo central e determine seu valor.

6x = 6×15 = 90°

Conforme propriedade P1 o ângulo inscrito mede: 90 ÷ 2 = 45°.

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