Question

Questão de trigonometria, valendo 25 pontos:

Calcule x:

sen(x) - cos(x/3) = 0

Answer 1

Para resolver essa questão, utilizaremos

as funções inversas do seno e cosseno. Ou seja, vamos transformar o seno e cosseno em arcsen e arccos.

sen(x) - cos(x/3) = 0

sen(x) = cos(x/3) = y

sen(x) = y virará

arcsen(y) = x

e cos(x/3) = y virará

arccos(y) = x/3

Sabendo que:

arcsen(y) + arccos(y) = pi/2

x + x/3 = pi/2

3x/3 + x/3 = pi/2

4x/3 = pi/2

4x = 3.pi/2

x = 3.pi/8

O valor de x pode ser 3 pi/8 ou

3 pi / 8 + pi (3 quadrante o sen é igual ao cos)

11 pi/8

R. 3pi/8 ou 11pi/8 (Primeira Volta)

Isso significa que pode ser para qualquer quadrante ímpar (1° ou 3°). Vamos reescrever:

S = {x E IR / x = 3pi/8 + k.pi k E Z}

Answer 2

Resposta: S = {$x$ ∈ R (Reais): $x\ =\ \frac{3\pi}{4}-3k\pi,\ k$ ∈ Z  ∨  $x\ =\ \frac{3\pi}{8}-\frac{3k\pi}{2},\ k$ ∈ Z}

Explicação passo-a-passo:

$sen(x)-cos(\frac{x}{3})\ =\ 0$  ⇔

$sen(x)\ =\ cos(\frac{x}{3})$  ⇔

$cos(\frac{\pi}{2}-x)\ =\ cos(\frac{x}{3})$  ⇔

$\frac{\pi}{2}-x\ =\ \frac{x}{3}+2k\pi,\ k$ ∈ Z (Inteiros)  (i)

ou

$\frac{\pi}{2}-x\ =\ -\frac{x}{3}+2k\pi,\ k$ ∈ Z (Inteiros)  (ii)

De (i) temos:

$x\ =\ \frac{3\pi}{8}-\frac{3k\pi}{2},\ k$ ∈ Z (Inteiros)

De (ii) temos:

$x\ =\ \frac{3\pi}{4}-3k\pi,\ k$ ∈ Z (Inteiros)

Logo:

S = {$x$ ∈ R (Reais): $x\ =\ \frac{3\pi}{4}-3k\pi,\ k$ ∈ Z  ∨  $x\ =\ \frac{3\pi}{8}-\frac{3k\pi}{2},\ k$ ∈ Z}

Abraços!!