Question

QUESTÃO DE TRIGONOMETRIA. Um teodolito é colocado á margem de uma estrada, o topógrafo observa uma árvore sob um ângulo de 60°. Algum tempo depois o topógrafo vai recuando em linha reta quando alcança 20 metros de recuo, vê a mesma árvore sobre um ângulo de 30°. Sabendo que a altura de visada da luneta do teodolito está a 1,60 m do solo, calcule a altura aproximada da árvore em metros. (DESENHO NA FOTO)

Answer 1

Olhar o anexo : eu tentei reproduzir um rascunho no Illustrator (mesmo não sabendo usá-lo)...
No desenho, x é a altura indicada no enunciado !

Tangente = Cateto oposto / cateto adjacente
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Para o triângulo vermelho :

Cateto oposto ao ângulo de 30º  = (H - x) m;
Cateto adjacente ao ângulo de 30º  = (20 + z) m...

tg 30º = (H - x) / (20 + z) ⇒ Sendo tg 30º = √3 / 3 :

√3 / 3 = (H - x) / (20 + z)

√3  = 3 * (H - x) / (20 + z) ⇒ Primeira relação !
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Para o triângulo azul :

Cateto oposto ao ângulo de 60º = (H - x) m;
Cateto adjacente ao ângulo de 60º = z m;

tg 60º = (H - x) / z ⇒ Sendo tg 60º = √3 :

√3 = (H - x) / z ⇒ Segunda relação !
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Comparando as relações :

√3  = 3 * (H - x) / (20 + z) 
√3 = (H - x) / z 

Logo  :

3 * (H - x) / (20 + z) = (H - x) / z ⇒ Cortando :

3 / (20 + z) = 1 / z ⇒ Multiplica em "X" :

3 * z = 20 + z

3 * z - z = 20

2 * z = 20
 
z = 20 / 2

z = 10 m 

Substituindo em alguma relação :

√3 = (H - x) / 10 ⇒ Do enunciado, x = 1,6 metros :

√3 = (H - 1,6) / 10

10 * √3 = (H - 1,6)

H = 10 * √3 + 1,6 ⇒ Aproximando √3 ≈ 1,732

H ≈ 10 * 1,732 + 1,6

H ≈ 17,32 + 1,6

H ≈ 18,92 metros ⇒ Altura aproximada da árvore !