Question

Questão de trigonometria, queria cada resposta bem explicada pois ainda estou em fase de aprendizado, se puder me ajudar agradeço!

Answer 1

(1) O gráfico I representa $V(t)$ e o gráfico II $v(t)$.

A principal diferença entre os dois gráficos reside no facto de o gráfico II tomar valores negativos, ao contrário do gráfico I.

Ora, o volume de ar nos pulmões nunca pode ser negativo. Por outro lado, o fluxo de ar pode tomar qualquer sinal, sendo que um fluxo negativo indica que o volume diminui (ar sai) e um fluxo positivo indica que o volume aumenta (ar entra).

Concluímos então que o gráfico I corresponde a $V$ e o gráfico II a $v$. A afirmação é verdadeira.

(2) O volume máximo de ar nos dois pulmões é maior do que um litro.

Tal como sabemos o cosseno e o seno de qualquer número variam sempre entre -1 e 1. Tem-se assim:

$\displaystyle -1 \leq \cos(0.4 \pi t) \leq 1 \iff -1 \leq -\cos(0.4\pi t) \leq 1 \iff\\\iff 0 \leq 1 - \cos(0.4 \pi t) \leq 2 \iff 0 \leq \dfrac{3}{2\pi}[1-\cos(0.4 \pi t)] \leq \dfrac{3}{\pi}.$

Assim, concluímos que:

$0 \leq V(t) \leq \dfrac{3}{\pi}.$

Conclui-se, então, que o valor máximo de $V$ é dado por:

$\dfrac{3}{\pi} \approx \dfrac{3.14}{3} > 1.$

A afirmação é, assim, verdadeira.

(3) O período de um ciclo respiratório completo é de 6 segundos.

Um ciclo respiratório começa com os pulmões vazios. Ao longo da inspiração, o volume aumenta até atingir um máximo, diminuindo de seguida durante a expiração até regressar ao zero. Assim, resolvamos a equação:

$V(t) = 0 \iff \dfrac{3}{2\pi}[1-\cos(0.4\pi t)] = 0 \iff \cos(0.4\pi t) = 1.$

O cosseno é igual a um para múltiplos inteiros de $2\pi$, ou seja, para $t = 2\pi k$, com$k\in\mathbb{Z}$. Portanto, tem-se:

$0.4\pi t = 2\pi k \iff t = \dfrac{2k}{0.4} = 5k,$

o que mostra que o período do ciclo é de 5 s. Um modo mais direto consiste em saber que o período de $\cos(\omega t)$ é dado por $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$.

A afirmação é, assim, falsa.

(4) Tal como indicado no exercício anterior, o período de $\cos(\omega t)$ ou de $\sin(\omega t)$ é dado por $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$. Como o período corresponde ao inverso da frequência, conclui-se que a frequência de $v$ e $V$ têm a mesma frequência.

Portanto, a afirmação é falsa.