Question

QUESTÃO DE PROVA DE CALCULO, POR FAVOR !!!!!

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \frac{dy}{dx} = 3x {}^{2} - 4x + 1$

Note que esta equação diferencial possui as variáveis separáveis, portanto, podemos utilizar o tal método para a resolução:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf dy = 3x {}^{2} - 4x + 1 \: dx$

Aplicando a integral em ambos os lados:

$\: \: \: \: \: \: \sf \int dy = \int 3x {}^{2} - 4x + 1 \: dx \\ \\ \sf \int dy = 3 \int x {}^{2} \: dx - 4 \int x \: dx + \int dx \\ \\ \sf y + c_{1} = 3. \frac{x {}^{3} }{3} - 4. \frac{x {}^{2} }{2} + x + c_{2} \\ \\ \sf y = x {}^{3} - 2x {}^{2} + x + \underbrace{c_{2} - c_{1}}_{k} \\ \sf y = x {}^{3} - 2x {}^{2} + x + k$

Utilizando a informação de que quando x = -1, y = 3. Substituindo na expressão:

$\sf 3 = ( - 1) {}^{3} - 2.( - 1) {}^{2} + ( - 1) + k \\ \\ \sf 3 = - 1 - 2 - 1 + k \\ \\ \boxed{\sf k = 7}$

Substituindo esta informação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\boxed{ \sf y = x {}^{3} - 2x {}^{2} + x + 7}$

Esta é a solução geral. Espero ter ajudado