Questão de Probabilidade, simples
Uma caixa contém 48 lâmpadas elétricas, das quais 10 são defeituosas. Todas as lâmpadas têm
aparência igual e igual probabilidade de serem escolhidas. Retiram-se 3 lâmpadas ao acaso.
(a) Qual a probabilidade de pelo menos 2 serem defeituosas?
(b) Qual a probabilidade de haver alguma defeituosa?
Soluções para a tarefa
a) Temos 48 lâmpadas, dentre elas:
- 10 defeituosas
- 38 perfeitas
==> Casos (ao retirar 3 lâmpadas):
Obs: Retirar 3 lâmpadas ao acaso significa retirar as 3 ao mesmo tempo ou retirar 1 a 1 SEM REPOSIÇÃO.
Caso 1 - 3 perfeitas
Caso 2- 3 defeituosas
Caso 3- 2 perfeitas e 1 defeituosa
Caso 4- 2 defeituosas e 1 perfeita
Como queremos pelo menos 2 defeituosas, utilizaremos o caso 2 e 4.
Cálculo da Probabilidade do caso 2:
- Dividiremos as combinações de 10 lâmpadas defeituosas escolhidas 3 a 3, pelo total de combinações de 48 lâmpadas também tomadas 3 a 3.
P = C10,3 / C48,3
C10,3 = 10.9.8/3.2 = 10.3.4 = 120
C48,3 = 48.47.46/6 = 8.47.46
P = 120/8.47.46 = 15/47.46 = 15/2162
Cálculo da Probabilidade do caso 4:
- Dividiremos: combinação de 10 lâmpadas defeituosas tomadas 2 a 2 VEZES (*) a combinação de 38 lâmpadas perfeitas tomadas 1 a 1 POR combinação de 48 lâmpadas tomadas 3 a 3.
P = (C10,2 * C38,1) / C48,3
P = (10.9/2 * 38) / 8.47.46
P = 45.38 / 8.47.46
P = 45.19 / 4.47.46
P = 855 / 8648
Agora devemos somar a P(2) com P(4) pois ocorrerá uma OU outra.
15 / 2162 + 855 / 8648 =
60 / 8648 + 855 / 8648 =
915 / 8648 =
915 / 8648 = 0,1058 = 10,58% aproximadamente
b) A probabilidade de haver alguma defeituosa é a soma dos casos 2, 3 e 4 ou a diferença entre a probabilidade total (1) e o caso 1.
Assim, temos:
1 - P(1)
Cálculo da probabilidade do caso 1:
- Dividiremos a combinação de 38 lâmpadas perfeitas, tomadas 3 a 3 pela combinação de 48 lâmpadas tomadas 3 a 3.
C38,3 / C48,3 =
(38.37.36/6) / (48.47.46/6) =
38.37.6 / 8.47.46 =
38.37.3/4.47.46 =
19.37.3/2.47.46 =
2109 / 4324 = 0,4877
Como devemos diminuir de P(1) de 1, temos:
1 - 2109/4324 = 4324/4324 - 2109/4324 = 2215/4324 = 0,5122 = 51,22% aproximadamente