Question

Questao de PG!!
Em uma P.G. de razão positiva sabe-se que a4 + a6 = -320 e a4 - a6 = 192
      
Determine o quinto termo dessa P.G.

Answer 1

$a_{4}+a_{6}=-320\\(a_{1}*q^{3})+(a_{1}*q^{5})=-320$

Colocando a₁*q³ em evidência:

$a_{1}*q^{3}(1+q^{2})=-320$
_______

$a_{4}-a_{6}=192\\(a_{1}*q^{3})-(a_{1}*q^{5})=192\\a_{1}*q^{3}(1-q^{2})=192$
_______

$\left \{ {{a_{1}*q^{3}(1+q^{2})=-320} \atop {a_{1}*q^{3}(1-q^{2})=192}} \right.$

Dividindo uma pela outra:

$\dfrac{a_{1}*q^{3}(1+q^{2})}{a_{1}*q^{3}(1-q^{2})}=-\dfrac{320}{192}~~\therefore~~\dfrac{1+q^{2}}{1-q^{2}}=-\dfrac{5}{3}~~\therefore~~3(1+q^{2})=-5(1-q^{2})$

$3(1+q^{2})=-5(1-q^{2})\\3+3q^{2}=-5+5q^{2}\\3+5=5q^{2}-3q^{2}\\2q^{2}=8\\q^{2}=4\\q=\pm\sqrt{4}\\q=\pm2$

Como a razão da P.G é positiva:

$q=2\\\\a_{1}*q^{3}(1+q^{2})=-320\\a_{1}*2^{3}(1+2^{2})=-320\\a_{1}*8*5=-320\\a_{1}*40=-320\\a_{1}=-320/40\\a_{1}=-8$
_________________________

$a_{n}=a_{1}*q^{n-1}\\a_{5}=a_{1}*q^{5-1}\\a_{5}=a_{1}*q^{4}\\a_{5}=(-8)*2^{4}\\a_{5}=(-8)*16\\a_{4}=-128$