Question

Questão de matrizes, urgente!!!!!

Answer 1

A matriz original multiplicada com a matriz inversa é igual a matriz identidade:

$\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x & y\\ z & k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$

Multiplicamos a matriz original com a matriz inversa:

$\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x & y\\ z & k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2*x + (-1*z)) & (2*y + (-1*k))\\ (-1*x)+2*z & (-1*y) + 2*k\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2x - z & 2y - k\\ -x+2z & -y + 2k\end{pmatrix}$

Agora igualamos nossa nova matriz, com a matriz identidade:

$\begin{pmatrix} 2x - z & 2y - k\\ -x+2z & -y + 2k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$

Fazemos um sistema linear e iremos resolver usando escalonamento:

$\begin{cases} 2x -z = 1\\ 2y - k = 0 \\ -y + 2k = 1 \\ -x + 2z = 0\end{cases}$

Somamos a primeira equação com o dobro da ultima:$\begin{cases} 2x -z = 1\\ 2y - k = 0 \\ -y + 2k = 1 \\ 2x - z-2x + 4z = 0 + 1\end{cases}\\\\\\\begin{cases} 2x -z = 1\\ 2y - k = 0 \\ -y + 2k = 1 \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}$

Substituímos o nosso z na primeira equação para encontrar o x:

$\begin{cases} 2x -\frac{1}{3} = 1\\ 2y - k = 0 \\ -y + 2k = 1 \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}\\\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ 2y - k = 0 \\ -y + 2k = 1 \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}$

Agora, somamos a segunda equação com o dobro da terceira:

$\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ 2y - k = 0 \\ 2y - k -2y + 4k = 2 + 0 \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}\\\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ 2y - k = 0 \\ k = \frac{2}{3} \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}$

Substituímos o k na segunda para encontrar o y:

$\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ 2y - \frac{2}{3} = 0 \\ k = \frac{2}{3} \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}\\\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ y= \frac{1}{3} \\ k = \frac{2}{3} \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}$

Temos todas as incógnitas, basta substituir na nossa matriz:

$\begin{pmatrix} x & y\\ z & k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}$

Simplificando, nossa resposta fica:

$\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$