Question

Questão de matemática! Passo a passo
$\LARGE\tt{}\bm{\dfrac{110}{1+x}+\dfrac{121}{(1+x)^{2}}=200}$
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Answer 1

Resposta:

$\frac{110}{1 + x} + \frac{121}{ {(1 + x)}^{2} } = 200$

O x tem que ser diferente de - 1.

$\frac{110}{1 + x} + \frac{121}{ {(1 + x)}^{2} } - 200 = 0$

$\frac{110(1 + x) + 121 - 200 {(1 + x)}^{2} }{ {(1 + x)}^{2} } = 0$

$\frac{110 + 110x + 121 - 200 {(1 + x)}^{2} }{ {(1 + x)}^{2} } = 0$

$\frac{110 + 110x + 121 - 200(1 + 2x + {x}^{2} )}{ {(1 + x)}^{2} } = 0$

$\frac{231 + 110x - 200(1 + 2x + {x}^{2} )}{ {( 1+ x)}^{2} } = 0$

$\frac{231 + 110x - 200 + 400x - 200 {x}^{2} }{ {(1 + x)}^{2} } = 0$

$\frac{31 + 110x - 400x - 200 {x}^{2} }{ {(1 + x)}^{2} } = 0$

$\frac{31 - 290x - 200 {x}^{2} }{ {(1 + x)}^{2} } = 0$

$31 - 290x - 200 {x}^{2} = 0$

$- 200 {x}^{2} - 290x + 31 = 0 \: . \: ( -1 )$

$200 {x}^{2} + 290x - 31 = 0$

$200 {x}^{2} + 310x - 20x - 31 = 0$

$10 \: . \: (20x + 31) - (20x + 31) = 0$

$(20x + 31).(10x - 1) = 0$

Primeira raiz :

$20x + 31 = 0$

$20x = - 31$

$x = - \frac{31}{20}$

Segunda raiz :

$10x - 1 = 0$

$10x = 1$

$x = \frac{1}{10}$

Portanto, a solução dessa equação racional é :

S = { - 31/20, 1/10}

Espero ter ajudado.

Bons estudos.

Answer 2

Através dos cálculos realizados podemos concluir que as raízes dessa equação, ou seja, seus zeros são 1/10 e - 31/20.

Estamos diante de uma equação fracionária, onde usamos o MMC e modificamos a equação para melhor operarmos com ela.

$\LARGE\tt{}\bm{\dfrac{110}{1+x}+\dfrac{121}{(1+x)^{2}}=200}$

Sabemos que o denominador da fração NUNCA será zero, pois $\dfrac{x}{0} ~\nexists~$ ; para qualque valor de x. (∄ - não existe) Então na nossa equação vemos que x deve ser diferente de - 1. (x ≠ - 1)

MMC( (1 + x) , (1 + x)² , 1) = (1 + x)²

• Organizando a equação

$\LARGE\tt{}\bm{\dfrac{110(1 + x)}{(1+x) {}^{2} }+\dfrac{121}{(1+x)^{2}}= \dfrac{200(1 + x)^{2} }{(1 + x)^{2} } } \\ \\ \\\LARGE\tt 110(1 + x) + 121 = 200(1 + x)^{2}$

$\LARGE\tt 110(1 + x) + 121 = 200(1 + x)^{2} \\ \\ \LARGE\tt 110 + 110x+ 121 = 200(1 + 2x + {x}^{2} ) \\ \\ \LARGE\tt 231 + 110x= 200 + 400x + 200{x}^{2}$

$\LARGE\tt 231 + 110x= 200 + 400x + 200{x}^{2} \\ \\ \LARGE\tt 200 + 400x + 200{x}^{2} = 231 + 110x \\ \\ \LARGE\tt 200{x}^{2} + 400x - 110x + 200 - 231 = 0 \\ \\ \LARGE\tt 200{x}^{2} + 290x - 31 = 0$

Encontramos uma equação polinomial de grau dois, ou seja, uma equação do segundo grau -- na qual usamos os coeficientes a , b e c para encontrar as raízes através da famigerada fórmula de bhaskara.

$\LARGE\tt \: x = \frac{ - b \: \pm \: \sqrt{ \Delta} }{2a} \: \: \: \: \: \: \Delta \: = {b}^{2} - 4ac$

O valor do delta classifica se a equação tem raíz real(∆ > 0), se há duas raízes reais e iguais (∆ = 0) ou se não há raízes reais(∆ < 0).

• Calculando a discriminante

$\LARGE\tt \Delta \: = {b}^{2} - 4ac \\ \\ \LARGE\tt \Delta \: = {290}^{2} - 4.200.( - 31) \\ \\ \LARGE\tt \Delta \: = 84100 - 800.( - 31) \\ \\ \LARGE\tt \Delta \: = 84100 + 24800 \\ \\ \LARGE\tt \Delta \: = 108900 \: \: \: \: \: \: > > \sqrt{\Delta} = 330$

• Usando Bhaskara

$\LARGE\tt \: x = \frac{ - b \: \pm \: \sqrt{ \Delta} }{2a} \\ \\ \\ \LARGE\tt \: x = \frac{ - 290 \: \pm \: 330 }{2.200} \\ \\ \\ \LARGE\tt \: x = \frac{ - 290 \: \pm \: 330 }{400} \\ \\ \\ \LARGE\tt \: x = \frac{ - 29 \: \pm \: 33 }{40}$

Raízes ou zeros da equação.

$\LARGE\tt \: x_{1} = \frac{ - 29 \: + \: 33 }{40} = \dfrac{4}{40} = \dfrac{1}{10} \\ \\ \\ \LARGE\tt \: x_{2} = \frac{ - 29 \: - \: 33 }{40} = \dfrac{ - 62}{40} = - \dfrac{31}{20}$

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