Question

QUESTÃO DE MATEMÁTICA

O engenheiro Pedro projetou um reservatório de água em
forma de semi-esfera, de raio 6 metros. O reservatório será
utilizado em um prédio de apartamentos. No entanto, o
engenheiro especificou que o reservatório deve atingir a
capacidade máxima de 280 metros cúbicos .Sendo assim,
analisando a situação acima, é possível determinar que a
altura máxima h que a água pode atingir? Caso possível,
obtenha o valor de h.​

Answer 1

Resposta:

A fórmula para se calcular o volume de uma semiesfera, ou seja, de uma calota esférica, é dada por:

V = 1/3 ∙ π ∙ h² ∙ (3r – h)

E através desta fórmula podemos calcular não só o volume, mas também a altura h e o raio r, dependendo, é claro, dos valores dado no problema.

Dados:

V = 280

π = 3,14

r = 6 m

h = ?

280 = 3,14/3 ∙ h² ∙ (3 ∙ 6 – h)

280 = 3,14/3 ∙ h² ∙ (18 – h)

3,14/3 ∙ h² ∙ (18 – h) = 280

3,14h² ∙ (18 – h) = 280 ∙ 3

Fazendo a distributiva no primeiro membro, temos:

56,52h² – 3,14h³ = 840

– 3,14 h³ + 56,52h² – 840 = 0

Chegamos, então, numa equação do 3º grau.

Usando uma Calculadora de Equações do Terceiro Grau encontrei três raízes como resposta para esta equação acima.

Então, as raízes da equação do 3º grau: – 3,14 h³ + 56,52h² – 840 = 0, são:

h₁ ≅ 17,083

h₂ ≅ – 3,525

h₃ ≅ 4,442

Mas precisamos lembrar que o reservatório de água em forma de semiesfera, tem raio medindo 6 metros. Ou seja, a raiz h₁ não é válida como resposta, pois ultrapassa, e muito, o tamanho real do raio. E h₂ também não serve como resposta, por resultar em um valor negativo, visto que não existe altura h negativa. Então, a raiz (altura h) que satisfaz o nosso problema dado é apenas h₃.

Resposta: A altura h máxima permitida é de aproximadamente 4,442 metros.

VERIFICAÇÃO:

h ≅ 4,442 m

V = 1/3 ∙ π ∙ h² ∙ (3r – h)

280 = 3,14/3 ∙ (4,442)² ∙ (3 ∙ 6 – 4,442)

280 = 3,14/3 ∙ 19,731364 ∙ (18 – 4,442)

280 = 3,14/3 ∙ 19,731364 ∙ 13,558

280 = 840/3

280 = 280

CONFIRMADO!

A altura h máxima permitida é de aproximadamente 4,442 metros (ou 4,44 m).