Question

Questão de matemática na foto. Não quero só a opção correta, preciso da resolução.

Answer 1

$log_{b}(a)$

Vamos mudar a base desse logaritmo para 'a':

$log_{b}(a)=\dfrac{log_{a}(a)}{log_{a}(b)}$

Como log de 'a' na base 'a' é 1, temos:

$\boxed{\boxed{log_{b}(a)=\dfrac{1}{log_{a}(b)}}}$
_____________________________

Vamos trabalhar o expoente de n:

$\dfrac{1}{log_{2}(n)}+\dfrac{1}{log_{3}(n)}+..+\dfrac{1}{log_{n}(n)}=log_{n}(2)+log_{n}(3)+...+log_{n}(n)\\\\\\\dfrac{1}{log_{2}(n)}+\dfrac{1}{log_{3}(n)}+..+\dfrac{1}{log_{n}(n)}=log_{n}(2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot n)\\\\\\\dfrac{1}{log_{2}(n)}+\dfrac{1}{log_{3}(n)}+..+\dfrac{1}{log_{n}(n)}=log_{n}(n\cdot(n-1)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1)$

O logaritmando desse logaritmo é a definição do fatorial de n:

$\boxed{\boxed{\dfrac{1}{log_{2}(n)}+\dfrac{1}{log_{3}(n)}+..+\dfrac{1}{log_{n}(n)}=log_{n}(n!)}}$
_________

Trabalhando a potência:

$n^{(\frac{1}{log_{2}(n)}+\frac{1}{log_{3}(n)}+..+\frac{1}{log_{n}(n)})}=n^{log_{n}(n!)}$

Sabemos que $a^{log_{a}(b)}=b$, então:

$\boxed{\boxed{n^{(\frac{1}{log_{2}(n)}+\frac{1}{log_{3}(n)}+..+\frac{1}{log_{n}(n)})}=n!}}$

Letra A