Question

Questão de Limites
- Determine os valores das constantes a e b de modo que lim (b√(x+2) - a)/x-2 = 1/2 quando x tende a 2.
É um questão de uma prova de limites, então se possível não fazer pela regra de L'Hospital.

Answer 1

É nos dado o seguinte limite: $\mathsf{\underset{x\to2}{\ell im}~\dfrac{b\sqrt{x+2}-a}{x-2}}$ quando x tende a 2. Esse limite trata-se de um limite indeterminado quando substituímos o x = 2.

Portanto é necessário "eliminar" a indeterminação desse limite multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. Daí vem que,

$\mathsf{=\dfrac{(b\sqrt{x+2})^2-a^2}{(x-a)(b\sqrt{x+2}+a)}}$

Mesmo assim ainda continuamos com uma indeterminação, porque se você fizer o teste substituindo o x = 2, o denominador ainda continuará a ser 0. Então podemos multiplicar novamente, mas dessa vez pelo conjugado do denominador. Assim,

$\mathsf{=\dfrac{((b\sqrt{x+2})^2-a^2)(b\sqrt{(x+2)}-a)}{(x-a)(b\sqrt{x+2}+a)(b\sqrt{(x+2)}-a)}}$

A princípio é muito longo as operações, eu recomendo que você faça o passo a passo na sua folha de rascunho. Substituímos o x e dessa vez não cairemos em um limite indeterminado. Veja,

$\mathsf{=\dfrac{(4b^2-a^2)(2b-a)}{(4b^2-a^2)(2-a)} }$

Colocando o 4b² - a² em evidência, poderemos fazer a simplificação. Logo,

$\mathsf{=\dfrac{2b-a}{2-a} }$

Agora temos uma expressão em termos de a e b. Sabemos que 2b - a = 1 e 2 - a = 2.

a = 0

b = 1/2

Esses são os valores de a e b respectivamente.