Question

QUESTÃO DE LIMITES Calculo 1

pode usar derivada ai ?
eu sei que o limite
$\\lim_{\left(x-\ \textgreater \ \left(-1\right)^-\right)}\:\left(3\:x^3\:-\:2\:x^2\:-\:x\:+\:4\right)/\left(2\:x^2\:+\:4\:x\:+\:2\right)\:= - infinito\\\\\\e\\\\lim_{\left(x-\ \textgreater \ \left(-1\right)^+\right)}\:\left(3\:x^3\:-\:2\:x^2\:-\:x\:+\:4\right)/\left(2\:x^2\:+\:4\:x\:+\:2\right)\:=\: infinito$

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\sf f(x) = 3x {}^{3} - 2x {}^{2} - x + 4 \\ \sf g(x) = 2 {x}^{2} + 4x + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

A partir dessas funções, a questão pergunta qual o valor de: $\lim_{x\to -1}\frac{f(x)}{g(x)}$. Vamos substituir cada função no seu local:

$\sf \lim_{x\to -1}\frac{3x {}^{3} - 2x {}^{2} - x + 4 }{2x {}^{2} + 4x + 2 }$

A primeira coisa que devemos fazer é substituir o valor a qual o "x" tende, para podermos observar se há ou não indeterminação e qual o seu tipo.

$\sf \frac{3.( - 1) {}^{3} - 2.( - 1) {}^{2} - .( - 1) + 4 }{2.( - 1) {}^{2} + 4.( - 1) + 2 } = \frac{ - 3 - 2 + 1 + 4}{2 - 4 + 2} = \boxed{ \sf\frac{0}{0} }$

De fato sabemos que a indeterminação é do tipo 0/0, então para resolver esse limite, devemos fazer alguma manipulação algébrica que suma com a mesma. Devemos lembrar que quando temos as seguintes indeterminações:

$\boxed{ \boxed{ \sf \lim_{x\to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \: \: \: ou \: \: \: \lim_{x\to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \infty }{\infty } }}$

Podemos usar a regra de L'Hôpital que nos assegura que a indeterminação será removida através da derivação do numerador e denominador. Observe que a indeterminação que possuímos é de fato igual a uma dessas listadas, então vamos aplicar L'Hôpital, que diz:

$\boxed{ \boxed{ \sf \lim_{x\to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to p}\frac{ \frac{d}{dx} f(x)}{ \frac{d}{dx} g(x)}}}$

Aplicando a regra:

$\sf \lim_{x\to -1}\frac{3x {}^{3} - 2x {}^{2} - x + 4 }{2x {}^{2} + 4x + 2 } = \lim_{x\to -1}\frac{ \frac{d}{dx} (3x {}^{3} - 2x {}^{2} - x + 4) }{ \frac{d}{dx} (2x {}^{2} + 4x + 2) }$

Resolvendo as derivadas através da regra da potência que diz $x^{n}=n.x^{n-1}$, aplicando:

$\sf \frac{d}{dx} (3x {}^{3} - 2x {}^{2} - x + 4) = 9x {}^{2} - 4x - 1 \\ \sf \frac{d}{dx} (2x {}^{2} + 4x + 2) = 4x + 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto, o limite será escrito como:

$\sf \lim_{x\to -1}\frac{9x {}^{2} - 4 x - 1}{4x + 4}$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{9.( - 1) {}^{2} - 4.( - 1) - 1}{4.( - 1) + 4} = \frac{9 + 4 - 1}{ - 4 + 4} = \frac{12}{0} = \nexists$

Essa não existência, pode ser provada através dos limites laterais. Vamos começar simplificando essas expressões (colocarei as expressões já simplificadas):

$\sf 3x {}^{3} - 2x {}^{2} - x + 4 = (x + 1).(3x {}^{2} - 5x + 4) \\ \sf 2x {}^{2} + 4x + 2 = 2.(x + 1).(x + 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo nos limites:

$\sf \lim_{x\to -1}\frac{ \cancel{(x + 1)}.(3x {}^{2} - 5x + 4) }{2. \cancel{(x + 1)}.(x + 1)} \\ \\ \sf \lim_{x\to -1} \frac{3x {}^{2} - 5x + 4}{2x + 2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Analisando os limites laterais:

$\sf \lim_{x\to -1 {}^{ + } } \frac{3x {}^{2} - 5x + 4 }{2x + 2} = \frac{3.( - 1) - 5.( - 1) + 4}{2.( - 1) + 2} = \frac{6}{0 {}^{ + } } = \infty \: \: \: \\\ \\ \sf \sf \lim_{x\to -1 {}^{ - } } \frac{3x {}^{2} - 5x + 4 }{2x + 2} = \frac{3.( - 1) - 5.( - 1) + 4}{2.( - 1) + 2} = \frac{6}{0 {}^{ - } } = - \infty \\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf \begin{cases} \sf\lim_{x\to -1 {}^{ + } }\frac{f(x)}{g(x)} \neq\lim_{x\to -1 {}^{ - } }\frac{f(x)}{g(x)}\end{cases} = \nexists\lim_{x\to -1}\frac{f(x)}{g(x)} }}$

Espero ter ajudado