Question

Questão de Integrais, Calculo

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \frac{dx}{x {}^{2} \sqrt{x {}^{2} - 5 } }$

Para resolver essa integral, vamos usar o método da substituição trigonométrica no caso quando tem-se $\sqrt{x^2-a^2}$. Quando temos esse caso, a saída é pela secante. Observe que em nossa integral, não temos perfeitamente esse caso, então vamos fazer uma manipulação:

$\int \frac{dx}{x {}^{2} \sqrt{x {}^{2} - 5 } } \: \to \: \int \frac{dx}{x {}^{2} \sqrt{x {}^{2} - ( \sqrt{5} ) {}^{2} } }$

Agora vamos montar um triângulo retângulo que nos auxiliará no cálculo (Está anexado na resposta). Agora vamos usar a secante nesse triângulo retângulo gerado:

$\sec( \theta) = \frac{1}{ \cos( \theta)} \: \to \: \sec( \theta) = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{5} }{x} } \\ \sec( \theta) = \frac{x}{ \sqrt{5} } \: \to \: x = \sqrt{5} \: . \: \sec( \theta)$

Derivando x em relação ao ângulo:

$\frac{dx}{d \theta} = \sqrt{5}. \sec( \theta ). \tan( \theta) \: \to \: dx = \sqrt{5}. \sec( \theta ). \tan( \theta) \: d \theta$

Substituindo essas informações na integral:

$\int \frac{\sqrt{5}. \sec( \theta ). \tan( \theta) \: d \theta}{( \sqrt{5 } \: . \: \sec( \theta)) {}^{2} \sqrt{( \sqrt{5}. \sec( \theta)) {}^{2} - ( \sqrt{5} ) {}^{2} } } \\ \\ \int \frac{\sqrt{5}. \sec( \theta ). \tan( \theta) \: d \theta}{5. \sec {}^{2}( \theta) \sqrt{5. \sec {}^{2}( \theta) - 5 } } \\ \\ \int \frac{\sqrt{5}. \sec( \theta ). \tan( \theta) \: d \theta}{5. \sec {}^{2} ( \theta) \sqrt{5.( \sec {}^{2}( \theta) - 1) } }$

Pelas relações Trigonométricas, sabemos que:

$\tan {}^{2} ( \theta) + 1 = \sec {}^{2} ( \theta) \\ \sec {}^{2} ( \theta) - 1 = \tan {}^{2} ( \theta)$

Substituindo essa informação na integral:

$\int \frac{\sqrt{5}. \sec( \theta ). \tan( \theta) \: d \theta}{5. \sec {}^{2}( \theta) \: \sqrt{5. \tan {}^{2} ( \theta)} } \\ \\ \int \frac{ \cancel{\sqrt{5}}. \cancel{\sec( \theta )}. \cancel{\tan( \theta)} \: d \theta}{ 5. \cancel{\sec {}^{2}( \theta) } \cancel{\sqrt{5} . \tan( \theta) }} \\ \\ \int \frac{d \theta}{5 \sec( \theta)} \: \to \: \frac{1}{5} \int \frac{1}{ \sec( \theta)} d \theta \\ \\ \frac{1}{5} \int \cos( \theta)d \theta \: \to \: \: \frac{1}{5} \sin( \theta) + k$

Essa é quase a resposta da integral, temos que retornar para a função "x", para isso vamos observar quem é o seno do ângulo no nosso triângulo retângulo gerado:

$\sin( \theta) = \frac{ \sqrt{x {}^{2} - ( \sqrt{5} ) {}^{2} } }{x}$

Substituindo essa informação, temos:

$\boxed{ \frac{1}{5} . \frac{ \sqrt{x {}^{2} - ( \sqrt{5} ) {}^{2} } }{x} + k}$

Espero ter ajudado