Questão de Fisica 3 sobre Lei de Coulomb e princípio da superposição
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Soluções para a tarefa
Seja um elemento de carga associado ao elemento
do anel. A força produzida por este elemento na carga
é:
sendo o vetor que liga o elemento
à carga
.
Como o anel está carregado uniformemente, temos a densidade linear de carga:
sendo a carga no anel e
o seu raio, pelo que
é o seu perímetro.
Atendendo agora à definição de densidade linear de carga, temos:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento é dado por:
sendo o ângulo azimutal. Juntando tudo, obtemos:
Determinamos agora . Seja o eixo onde se encontra
o eixo dos
. Então a posição da carga é dada por:
Por outro lado, em coordenadas cilíndricas, seja o versor radial. A posição do elemento de carga
é dada por:
Temos então:
Podemos agora calcular a magnitude do vetor e o respetivo cubo:
Substituindo os resultados na expressão inicial, vem:
Integrando sobre , temos então para a componente em
:
Note-se que nem o versor nem nenhuma das grandezas depende de
, pelo que podem sair do integral.
Notamos agora que, para cada elemento existe um elemento diametralmente oposto
que permite anular a componente da força em
, pelo que a força está toda sobre o eixo dos
.
Alternativamente, poderíamos realizar a integração sobre e provar que a componente em
se anula:
Note-se que o versor não é constante, pois roda com
. De facto, em coordenadas cartesianas, tem-se:
Como tal, vem:
onde os versores e
são constantes e podem sair do integral. Como o seno e o cosseno são funções
-periódicas, tem-se:
e, do mesmo modo,:
pelo que, tal como previsto pela simetria:
Obtemos então a expressão final da força: