QUESTÃO DE DERIVADA.
Um fazendeiro deseja construir um deposito em forma de uma caixa de base quadrada, aberto em cima e com capacidade de 32m2. Determine as dimensoes do deposito de modo que o material necessario para constru´ı-lo
seja mınimo.
alevini:
32m^2 ou 32m^3?
Soluções para a tarefa
Respondido por
1
Nesse caso que se quer o mínimo é simplesmente tirar a raiz quadrada de 32 que dará aproximadamente 5,66 mas vou por a demonstração.
Área
A = x*y=32 m2 ====> x = 32 / y
Perímetro como sabemos e sendo uma área retangular teremos
se x é um lado e y o outro:
P = 2x + 2y ===> como x já temos acima, substituindo teremos:
P = 2*(32/y) + 2y ====> P=64/y + 2y ou P=64*y^-1 +2y
Para achar o mínimo teremos que achar a derivada dessa última expressão
P = 64*y^-1 + 2y
P' = -64y^-2 + 2 nota -64*y^-2 é o mesmo que -64 / y^2
então
-64 / y^2 + 2 = 0
-64 / y^2 = -2 o y está no denominador se fazê-lo ficar no numerador fica:
y^2 = -64 / -2 =====> y^2 = 32 menos dividido por menos dá mais.
Se y^2 = 32 então y=RaizQuadrada( 32 )
y = 5,66
Resposta: as dimensões serão 5,66 por 5,66 o perímetros, será 4*Raiz(32)= 22,63
Área
A = x*y=32 m2 ====> x = 32 / y
Perímetro como sabemos e sendo uma área retangular teremos
se x é um lado e y o outro:
P = 2x + 2y ===> como x já temos acima, substituindo teremos:
P = 2*(32/y) + 2y ====> P=64/y + 2y ou P=64*y^-1 +2y
Para achar o mínimo teremos que achar a derivada dessa última expressão
P = 64*y^-1 + 2y
P' = -64y^-2 + 2 nota -64*y^-2 é o mesmo que -64 / y^2
então
-64 / y^2 + 2 = 0
-64 / y^2 = -2 o y está no denominador se fazê-lo ficar no numerador fica:
y^2 = -64 / -2 =====> y^2 = 32 menos dividido por menos dá mais.
Se y^2 = 32 então y=RaizQuadrada( 32 )
y = 5,66
Resposta: as dimensões serão 5,66 por 5,66 o perímetros, será 4*Raiz(32)= 22,63
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