Question

Questão de Derivada:

Seja f ( x ) = 2 se x$\geq$0

= $x^{2}$ + 2 se x < 0


a ) Esboce o gráfico de f


b) f e derivável em p = 0? Em caso afirmativo, calcule f'(0).

Answer 1

Para verificar se uma função é derivável em um ponto temos que garantir que o limite exista:

                       $\Large\displaystyle\begin{aligned}f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{aligned}$

Isso implica que os limites laterais precisam convergir.

Então vamos para a nossa função

$\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) = \begin{cases}2 &\text{ se } x \geqslant 0\\ \\x^2+2 &\text{ se } x<0\end{cases}\end{aligned}$

Então vamos ver se ela é derivável em x = 0, então vamos calcular os limites laterais!

Aproximando de 0 pela esquerda

                       $\Large\displaystyle\begin{aligned}f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{aligned}$

Teremos que usar a condição que ela é menor que 0, portanto a definição em que ela é uma quadrática:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}f'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{(x_0+\Delta x)^2+2-(x_0^2+2)}{\Delta x}\\ \\f'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{(x_0+\Delta x)^2-x_0^2}{\Delta x} \\ \\f'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{x_0^2+\Delta x^2+2x_0\Delta x-x_0^2}{\Delta x} \\ \\f'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{\Delta x^2+2x_0\Delta x}{\Delta x} \\ \\f'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{\Delta x(\Delta x+2x_0)}{\Delta x} \\ \\\end{aligned} }$

                       $\Large\text{ \begin{aligned}f'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0^{-}}\Delta x+2x_0\\ \\\end{aligned} }$

Chegamos ao final, então resolvendo o limite finalmente:

                       $\Large\text{ \begin{aligned}f'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0^{-}} \Delta x+2x_0 \\ \\f'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0^{-}} 0+2x_0 \\ \\f'(x_0) &= 2x_0 \\ \\\end{aligned} }$

Então,

$\Large\begin{aligned}\forall x<0, \ f(x) \ \text{\'e diferenci\'avel}\end{aligned}$

Agora fazendo pela direita de 0, temos:

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}f'(x_0)& = \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\ \\f'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{2 -2}{\Delta x}\\ \\f'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{0}{\Delta x}\\ \\f'(x_0) &= 0\end{aligned} }$

Logo,

$\Large\begin{aligned}\forall x\geqslant 0, \ f(x) \ \text{\'e diferenci\'avel e }f'(x) = 0\end{aligned}$

Portanto os limites convergem, então podemos afirmar que:

                                            $\Large\begin{aligned}f'(0) = 0\end{aligned}$

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/893351

brainly.com.br/tarefa/24095138

brainly.com.br/tarefa/11783437