Question

Questão de derivada direcional

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: f(x,y) = x {}^{2} y + 2xy {}^{3}$

Para calcularmos a derivada direcional dessa função no ponto P(1,1) na direção do vetor u = (2i - 3j), temos que primeiro calcular o gradiente da função, dado por:

$\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)$

Portanto vamos iniciar fazendo a derivada parcial, para que assim possamos obter o gradiente:

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2xy + 2y {}^{3} \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = x {}^{2} + 6xy {}^{2}$

Portanto o gradiente é:

$\nabla f(x,y) = \left(2xy + 2y {}^{3} ,x {}^{2} + 6xy {}^{2} \right)$

Agora vamos calcular o gradiente no ponto, ou seja, substituir o valor do ponto P(1,1):

$\nabla f(1,1) = \left(2.1.1 + 2.1 {}^{3} ,1 {}^{2} + 6.1.1{}^{2} \right) \\ \\ \nabla f(1,1) = (4,7)$

Agora para calcular a derivada direcional, usaremos a seguinte relação:

$\: \: \: \: \: \: D_{u}f = \nabla f(x,y). \left[ \frac{u}{ | |u| | } \right]$

Substituindo os dados, temos que:

$\: \: \: \: \: \: D_{u}f = (4,7). \left[ \frac{(2,(-3))}{ \sqrt{2 {}^{2} + {-3}^{2} } } \right] \\ \\ D_{u}f = (4,7). \left[ \frac{(2,-3)}{ \sqrt{13} } \right] \\ \\ D_{u}f = (4,7). \left[ \frac{2}{ \sqrt{13}} , \frac{-3}{ \sqrt{13} } \right] \\ \\ D_{u}f = \frac{4.2}{ \sqrt{13} } + \frac{7.(-3)}{ \sqrt{13} } \\ \\ \boxed{D_{u}f = \frac{-13}{ \sqrt{13} } \: \: ou \: \: \frac{-13 \sqrt{13} }{13} }$

Espero ter ajudado