Question

Questão de cálculo integral indefinido
respostas aleatórias serão denunciadas

Answer 1

Resposta:

ver abaixo

Explicação passo a passo:

oi vamos lá, aqui utilizamos a regra da cadeia, observe:

a) $\int\ {2xe^x} \, dx$, fazendo $u=2x\Rightarrow du=2dx$  e  $dv=e^xdx\Rightarrow v=e^x$ ,logo podemos escrever, $\int\ {2xe^x} \, dx = 2xe^x-\int\ {2e^x} \, dx = 2xe^x-2e^x+C\Rightarrow$

$\int\ {2xe^x} \, dx = 2e^x(x-1)+C$

b) $\int\ {x\cos x} \, dx$, fazendo $u=x\Rightarrow du=dx$ e $dv=\cos x dx\Rightarrow v=\sin x$, logo podemos escrever $\int\ {x\cos x} \, dx=x\sin x-\int\ {\sin x} \, dx=x\sin x+\cos x +C$

um abração

Answer 2

Resposta: a) 2eˣ(x – 1) + C, b) xsen x + cos x + C.

Podemos aplicar a integração por partes nessas duas integrais, visto que há um produto de dois fatores sendo integrados; portanto, considere a fórmula:

$\displaystyle\int u\,dv=uv-\displaystyle\int v\,du$

Note que integral do produto de duas funções u e dv é igual ao produto uv menos a integral do produto das funções v e du (sendo du e dv as derivadas de u e v, respectivamente).

Essa fórmula é proveniente da derivada do produto das funções u e v, pois a encontramos quando essa derivada é integrada.

O algoritmo que devemos seguir é escolher um fator para u e outro fator para dv, de modo a derivar u para obter du e integrar dv para obter v. A escolha depende muito de cada caso, mas você deve ver quais são as mais fáceis para prosseguir.  

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Item a)

$\displaystyle\int 2xe^x\,dx$

Não precisamos dessa constante na integração, por isso apliquemos a propriedade:

$2\displaystyle\int xe^x\,dx$

Observe que fazendo u = x e dv = eˣdx:  

$\begin{cases}u=x~\Leftrightarrow~\dfrac{du}{dx}=1~\Leftrightarrow~du=dx\\\land\\dv=e^x\,dx~\Leftrightarrow~v=\displaystyle\int e^x\,dx~\Leftrightarrow~v=e^x\end{cases}$

Substituindo essas quatro partes na fórmula supracitada, obtém-se:

$\displaystyle\int u\,dv=uv-\displaystyle\int v\,du$

$\displaystyle\int 2xe^x\,dx=2\bigg(xe^x-\displaystyle\int e^x\,dx\bigg)$

$\displaystyle\int 2xe^x\,dx=2\big(xe^x-e^x\big)+C$

$\boxed{\displaystyle\int 2xe^x\,dx=2e^x\big(x-1\big)+C}$

Obs.: a integral de eˣ é ele mesmo.

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Item b)

$\displaystyle\int xcos\,x\,dx$

Fazendo u = x e dv = cos x:

$\begin{cases}u=x~\Leftrightarrow~\dfrac{du}{dx}=1~\Leftrightarrow~du=dx\\\land\\dv=cos\,x\,dx~\Leftrightarrow~v=\displaystyle\int cos\,x\,dx~\Leftrightarrow~v=sen\,x\end{cases}$

E recorrendo à fórmula, obtém-se:

$\displaystyle\int u\,dv=uv-\displaystyle\int v\,du$

$\displaystyle\int xcos\,x\,dx=xsen\,x-\displaystyle\int sen\,x\,dx$

$\displaystyle\int xcos\,x\,dx=xsen\,x-(-\,cos\,x)+C$

$\boxed{\displaystyle\int xcos\,x\,dx=xsen\,x+cos\,x+C}$

Obs.: a integral do cosseno é o seno.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.