Question

Questão de Cálculo III não batem com as alternativas, me ajudem por favoor!! FOTO

Answer 1

Dada a função

$f(x,\,y)=x^2 y-y^3,$

encontrar o seu campo (vetorial) gradiente.


O campo vetorial gradiente de $f$ é dado por

$\overrightarrow\nabla f(x,\,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\,y)\,\overrightarrow{\mathbf{i}}+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)\,\overrightarrow{\mathbf{j}}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Note que as componentes do campo gradiente são apenas as derivadas parciais de $f:$

$\bullet~~\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y-y^3)\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\,y)=2xy\\\\\\\\ \bullet~~\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 y-y^3)\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)=x^2-3y^2$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ temos que o gradiente de $f$ é

$\boxed{\begin{array}{c} \overrightarrow\nabla f(x,\,y)=2xy\overrightarrow{\mathbf{i}}+(x^2-3y^2)\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$


Resposta: alternativa d.