Question

Questão de calculo difícil, alguém pode me ajudar?

Answer 1

Primeiro é necessário encontrar a interseção entre as superfícies:

$\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\\ \\ x^{2}+y^{2}=3z \end{array} \right.$

Da segunda equação, tiramos que $z\geq 0.$


Substituindo a segunda equação na primeira, temos

$3z+z^{2}=4\\ \\ z^{2}+3z-4=0\\ \\ z^{2}-z+4z-4=0\\ \\ z(z-1)+4(z-1)=0\\ \\ (z-1)(z+4)=0$


$\begin{array}{rcl} z=1&\text{ ou }&z=-4 \end{array}$

Para $z=1,$ a projeção da curva-interseção entre as superfícies sobre o plano $xy,$ satisfaz

$x^{2}+y^{2}=3$


Para $z=-4,$ não se aplica interseção, pois este valor não satisfaz a equação do parabolóide.

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Agora podemos descrever a região $D$ entre a esfera e o parabolóide da seguinte forma:

$x$ varia entre extremos fixos: $-\sqrt{3}\leq x\leq \sqrt{3}.$

$y$ varia entre os dois ramos da circunferência de centro na origem, e raio $\sqrt{3}:$ $-\sqrt{3-x^{2}}\leq y\leq \sqrt{3-x^{2}}.$


$z$ varia do parabolóide até a esfera.


Notamos que escrever e resolver a integral iterada em coordenadas cartesianas é um processo muito trabalhoso.

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Mudança para coordenadas cilíndricas:

$\begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta\\ \\ y=r\,\mathrm{sen\,}\theta\\ \\ z=z \end{array} \right.\;\;\;&\;\;\;\begin{array}{c} 0\leq r\leq \sqrt{3}\\ \\ 0\leq \theta\leq 2\pi\\ \\ \dfrac{r^{2}}{3}\leq z\leq \sqrt{4-r^{2}} \end{array} \end{array}$

O módulo do Jacobiano desta transformação é $|\mathrm{Jac\,}\phi|=r.$
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O volume da região é dado por

$\mathrm{Volume}(D)=\displaystyle\iiint\limits_{D}{1\,dz\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}\int\limits_{r^{2}/3}^{\sqrt{4-r^{2}}}{1\cdot|\mathrm{Jac\,}\phi|\,dz\,dr\,d\theta}$

$=\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}\int\limits_{r^{2}/3}^{\sqrt{4-r^{2}}}{r\,dz\,dr\,d\theta}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{r\cdot z|_{r^{2}/3}^{\sqrt{4-r^{2}}}\,dr\,d\theta}$

$=\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{r\cdot \left(\sqrt{4-r^{2}}-\dfrac{r^{2}}{3} \right )dr\,d\theta}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left(r\sqrt{4-r^{2}}-\dfrac{r^{3}}{3} \right )dr\,d\theta}$

$=\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}{\left.\left(-\dfrac{1}{3}(4-r^{2})^{3/2}-\dfrac{r^{4}}{12} \right )\right|_{0}^{\sqrt{3}}\,d\theta}\\ \\ \\ =2\pi\cdot \left[\left(-\dfrac{1}{3}(4-(\sqrt{3})^{2})^{3/2}-\dfrac{(\sqrt{3})^{4}}{12} \right )-\left(-\dfrac{1}{3}(4-0^{2})^{3/2}-\dfrac{0^{4}}{12} \right )\right]$

$=2\pi\cdot \left[\left(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{9}{12} \right )-\left(-\dfrac{8}{3} \right )\right]\\ \\ \\ =2\pi\cdot \left[-\dfrac{13}{12}+\dfrac{8}{3}\right]\\ \\ \\ =2\pi\cdot \dfrac{11}{12}\\\\\\=\dfrac{11\pi}{6}\mathrm{\;u.v.}$