Question

questão de cálculo.
Derivadas
Escreva a forma da decomposição em frações parciais da função

f(x)={3x^3+1} : {x^3-x}

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{f(x)=3-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para decompormos esta função em frações parciais, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a função:

$f(x)=\dfrac{3x^3+1}{x^3-x}$

Para começarmos, some e subtraia $3x$ no numerador

$f(x)=\dfrac{3x^3+1+3x-3x}{x^3-x}$

Reorganize os termos da seguinte maneira

$f(x)=\dfrac{3x^3-3x+3x+1}{x^3-x}$

Separe a fração como uma soma da seguinte maneira

$f(x)=\dfrac{3x^3-3x}{x^3-x}+\dfrac{3x+1}{x^3-x}$

Simplifique a fração

$f(x)=3+\dfrac{3x+1}{x^3-x}$

Reescreva o denominador como um produto

$f(x)=3+\dfrac{3x+1}{x\cdot(x-1)(x-1)}$

Então, decomponha a função em frações parciais:

$\dfrac{3x+1}{x\cdot(x^2-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+1}$

Multiplique ambos os lados da equação por $x\cdot(x+1)(x-1)$

$3x+1=A(x+1)(x-1)+B\cdot x(x+1)+C\cdot x(x-1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$3x+1=Ax^2-A+Bx^2+Bx+Cx^2-Cx$

Some os termos semelhantes

$3x+1=(A+B+C)x^2-A+(B-C)x$

Ao compararmos os coeficientes, vemos que:

$\begin{cases}-A=1\\A+B+C=0\\B-C=3\\\end{cases}$

Subtraindo o valor do primeiro coeficiente na segunda equação, teremos o sistema linear:

$\begin{cases}B+C=1\\B-C=3\\\end{cases}$

Somando as equações, temos

$2B=4$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$B=2$

Substituindo este valor em qualquer um das equações do sistema, temos

$C=-1$

Então, a decomposição desta função em frações parciais será:

$f(x)=3-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$.