Question

Questão de Cálculo:
​A série geométrica é uma série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica. Essa série é convergente se e somente se o valor absoluto da razão for menor que a unidade. Prove que para todo os valores reais de x... (veja imagem em anexo)

Answer 1

A identidade apresentada pode ser demonstrada aplicando a soma de uma série geométrica, ela fica assim:

$S=\sum^{\infty}_{i=0}sen(x).(-\frac{sen(x)}{2})^{i}=\frac{2.sen(x)}{2+sen(x)}$

Como se achar a soma da série geométrica apresentada?

O primeiro termo de uma série geométrica é sempre 1, portanto, na expressão apresentada podemos extrair um fator comum de sen(x), a expressão fica assim:

$S=sen(x)-\frac{1}{2}.sen^2(x)+\frac{1}{4}.sen^3(x)-\frac{1}{8}.sen^4(x)+...\\\\S=sen(x)(1-\frac{1}{2}.sen(x)+\frac{1}{4}.sen^2(x)-\frac{1}{8}.sen^3(x)+...)$

Podemos estabelecer uma expressão reduzida para esta série como segue, observando cada um dos termos:

$S=\sum^{\infty}_{i=0}sen(x).(-\frac{sen(x)}{2})^{i}$

A razão desta série geométrica é $-\frac{sen(x)}{2}$, essa expressão será sempre menor que 1, porque a função seno está acotada no intervalo [-1,1]. Utilizando a expressão para a soma de uma série geométrica com infinitos termos temos o seguinte:

$S=\sum^{\infty}_{i=0}sen(x).(-\frac{sen(x)}{2})^{i}=\frac{sen(x)}{1-\frac{-sen(x)}{2}}\\\\S=\frac{sen(x)}{\frac{2+sen(x)}{2}}=\frac{2.sen(x)}{2+sen(x)}$

Saiba mais sobre as séries geométricas em https://brainly.com.br/tarefa/6136598

#SPJ1