Question

QUESTÃO DE CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL:
Dizemos que a série ∑un, é absolutamente convergente se a série de valores absolutos |∑un| for convergente. Por outro lado, a série Σun, é dita condicionalmente convergente se ela for convergente mas não for absolutamente convergente.

Use as informações acima e determine se a série

(VEJA IMAGEM EM ANEXO)

É absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Answer 1

✅ A série $\rm \sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n\log_{n}e$ converge condicionalmente.

 

☁️₁ Critério de Leibniz: Seja $\rm \sum (-1)^n a_n$ uma série de termos alternados. Caso:

$\large\begin{array}{lr}\rm \bullet~a_{n+1} \leqslant a_n\,,~\forall\: n \\\\\displaystyle\rm \bullet~\lim_{n\to\infty} a_n = 0 \end{array}$

Dizemos que a série alternada converge.

 

☁️₂ Critério da comparação: Seja $\rm \sum a_n$ a série em questão e $\rm \sum b_n$ uma série auxiliar de comportamento conhecido. Se $\rm b_n \geqslant a_n$ para todo $\rm n$, então:

• ‌$\rm \sum b_n$ diverge se $\rm \sum a_n$ divergir;
• ‌$\rm \sum a_n$ converge se $\rm \sum b_n$ convergir;

 

✍️ Solução: Observe que a série:

$\Large\underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} (-1)^n \log_n e \qquad}}}$

é uma série alternada, daí podemos utilizar o critério de Leibniz para verificar sua convergência. Destarte, seja $\rm a_n = \log_n e$. Logo, partindo da definição de logaritmo:

“Define-se por logaritmo, o expoente que eu devo dar a uma base para que isto seja igual ao logaritmando”.

 

❏ Assim:

$\large\begin{array}{lr}\rm \log_n e = x \Leftrightarrow n^x = e\end{array}$

Vemos a partir daí que para todo $\rm n$ natural ( $\rm \forall\: n\in \mathbb{N}$ ), o sucessor $\rm n+1$ produzirá um logaritmo menor a cada iteração, pois será necessário um valor menor de $\rm x$ para compensar o crescimento de $\rm n$, lembrando que tudo isso é igual a $\rm e$. Sendo assim:

$\large\begin{array}{lr}\rm \checkmark~ a_{n+1} \leqslant a_n\,,~\forall\: n \end{array}$

E ainda, tomando o limite:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm\lim_{n\to+\infty} \log_n e\end{array}$

⚠️ Antes de analisar esse limite, bora fazer uma coisa que facilita demais a nossa vida. Vamos mudar a base desse logaritmo, pois não é interessante lidar com essa base à variável discreta de agora em diante. Convém então usar a base comum do cálculo que é o número $\rm e$.

$\large\begin{array}{lr}\rm \log_n e = \dfrac{\log_e e}{\log_e n} = \dfrac{1}{\ln(n)} \end{array}$

Então, o limite

$\large\begin{array}{lr}\checkmark~\displaystyle\rm\lim_{n\to+\infty} \log_n e =\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\ln(n)} = 0 \end{array}$

ℹ️ Portanto, a série com termos alternados converge!

 

❏ Vejamos se a convergência absoluta ocorre. Para isso, vamos tomar o módulo:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} \left|(-1)^n \frac{1}{\ln(n)} \right| = \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} \frac{1}{\ln(n)} \end{array}$

Podemos comparar a série acima com a série harmônica, a qual sabemos que diverge:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} \frac{1}{n} \end{array}$

Note que:

$\large\begin{array}{lr}\rm n \geqslant \ln(n) \Rightarrow \dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{1}{\ln(n)} \\\\\displaystyle\rm \therefore~\sum_{n\,=\,2}^{+\infty}\frac{1}{n} \leqslant \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} \frac{1}{\ln(n)} \end{array}$

❏ No entanto, se $\rm \sum_{n\,=\,2}^{+\infty}\frac{1}{n}$ diverge e é menor que $\rm \sum_{n\,=\,2}^{+\infty} \frac{1}{\ln(n)} = \sum a_n$, então $\rm \sum a_n$ também diverge.

 

✔️ Então, a série dada converge condicionalmente. Isto é, sua convergência se limita à condição desta ser alternada.

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre séries e sequências infinitas, convergência absoluta e convergência condicional:

• brainly.com.br/tarefa/51279415

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$