Question

[QUESTÃO DE BINOMIO DE NEWTON]

Determine o coeficiente de :

a) x^2 no desenvolvimento de (x + 2)^2
b) x^3 no desenvolvimento de (x + 2)^4

me ajudem com isso por favor! tenho prova amanhã!

Answer 1

Olá vou ajudar!

Por motivos óbvios não vou escrever o binômio de newton aqui.. Mas vou mandar uma foto como anexo.

Antes de tudo vou lhe mostrar oque significa o sigma, ou somatório.

∑ = somatório ou seja a soma de todos os termos que você quer.

S=∑

$S_{0}^3=s_0+s_1 +s_2+s_3$

Explicando Matematicamente a parte do sigma no binômio de newton.

$S _{0} ^k = S_k^{n}$

$S_0^n \left(\begin{array}{ccc}n\\k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}n\\0\end{array}\right)+....\left(\begin{array}{ccc}n\\(k-1)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}n\\k\end{array}\right)$


Determine o coeficiente de :

a)x^2 no desenvolvimento de (x + 2)^2
b) x^3 no desenvolvimento de (x + 2)^4

Letra a)

Primeiro com binômio de newton vamos encontrar quanto vale (a+b)^2..

Pelo binômio:

$(a+b)^n= S_{k=0}^{n} \left[\begin{array}{ccc}n\\k\end{array}\right] a^{n-k}.b^k$

Sendo S o sigma kkk

Lembrando que:

$\left(\begin{array}{ccc}n\\k\end{array}\right) = \frac{n!}{(n-k)!.k!}$

Indo a conta:

$(a+b)^2= S_{k=0}^{2} \left[\begin{array}{ccc}2\\k\end{array}\right] a^{2-k}.b^k$

$(a+b)^2= \left(\begin{array}{ccc}2\\0\end{array}\right) a^2.b^{0}+\left(\begin{array}{ccc}2\\1\end{array}\right) a^{2-1}.b^{1}+\left(\begin{array}{ccc}2\\2\end{array}\right) a^{2-2}.b^{2}$

$(a+b)^2=(1).a^2+(2).a.b+(1.)b^2$

Agora que sabemos quanto vale o termo nos podemos ou substituir na conta ou apenas no final:

$(x+2)^2= (1).(x)^2.(2)^0+2.(x)^1.(2)^1+(1).(x)^0.(2)^2$

$(x+2)^2=x^2+4x+4$

Como pode ver o numero que antecede o x, ou seja o coeficiente, e o numero 1 !

Letra b)

$(x+4)^4$

Nessa conta ja vou aplicar o binômio de newton substituindo os valores:

$(a+b)^n= S_{k=0}^{n} \left[\begin{array}{ccc}n\\k\end{array}\right] a^{n-k}.b^k$

$(x+2)^4= S_{k=0}^{4} \left[\begin{array}{ccc}4\\k\end{array}\right] a^{4-k}.b^k$

Como o expoente do binômio é 4 então teremos 5 termos...

(x+2)^4=$\left(\begin{array}{ccc}4\\0\end{array}\right).x^4.(2)^0+\left(\begin{array}{ccc}4\\1\end{array}\right).x^3.(2)^1+\left(\begin{array}{ccc}4\\2\end{array}\right).x^2.(2)^2+\left(\begin{array}{ccc}4\\3\end{array}\right)x.2^3+2^4$

Substituindo os números binomiais por seus respectivos valores:

$(x+2)^4=1.x^4.(2)^0+4.x^3.(2)^1+6.x^2.(2)^2+4x.2^3+2^4$

$(x+2)^4=x^4+4.2.x^3+6.x^2.4+4.x.8+16$

$(x+2)^4=x^4+8.x^3+24.x^2+32x+16$

O coeficiente de x^3 e o 8!

Espero ter ajudado!