Question

Questão de Análise matemática (superior)

Answer 1

A primeira série é divergente. Com efeito, se fosse convergente, isso implicaria que a série das somas Σ 1/n = Σ n/n^2 seria convergente, já que a série Σ1/n^2 converge*. No entanto, sabemos que Σ1/n é infinito.

A segunda série é convergente. De fato, ela converge para e-1, onde e é o número de Euler. Para ver que a série converge, basta aplicar o teste da razão: se a_n+1 / a_n tendo para L<1 quando n-> infinito, então a série Σa_n converge. De fato, a_n+1 / a_n = 1/(n+1)! / 1/n! = 1/n+1 —-> 0.

*Obs.: Para ver que a série Σ1/n^2 converge, basta aplicar o teste da integral. Mais ainda, com séries de Fourier é possível calcular que seu valor é precisamente π^2/6.