Question

Questão da OBM de 2002, primeira fase, nível 3. Nível de dificuldade entre médio e difícil.

Seja f uma função real de variável real que satisfaz a condição:

$f(x)+2f\left(\frac{2002}{x}\right)=3x$

para x>0. O valor de f(2) é igual a:

a) 1000
b) 2000
c) 3000
d) 4000
e) 6000

Answer 1

Vou responder aqui, veja se está certo. Caso não o Dexter Exclui.

Primeiro descobrimos quem é o f(2):

$f(2)+2f(\frac{2002}{2})=3*2$

$f(2)=6-2f(1001)$

Pronto, agora descobrimos quem é o f(1001)

$f(1001)+2f(\frac{2002}{1001})=3*1001$

$f(1001)=3003-2f(2)$

Substituindo o f(2) que encontramos antes nesta equação fica:

$f(1001)=3003-2(6-2f(1001)$

$f(1001)=3003-12 + 4f(1001)$

$f(1001)=2991 + 4f(1001)$

$f(1001)-4f(1001)=2991$

$-3f(1001)=2991$

Multiplicando os dois lados por (-1)
$3f(1001)=-2991$

$f(1001)=\frac{-2991}{3}$

$f(1001)=-997}$

Pronto descobrimos quem é f(1001), agora basta substituir na equação do f(2):

$f(2)=6-2f(1001)$

$f(2)=6-2(-997)$

$f(2)=6+1994$

$f(2)=2000$

Letra B.