Question

Questão Beta.

Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto $A(0,2)$ e é tangente na origem à reta $y+2x=0$.

RESPOSTA COMPLETA.
RESOLUÇÃO E EXPLICAÇÃO.
DIVIRTAM-SE. :))

Answer 1

a) Determinar a equação da reta que contém o centro da circunferência pedida:

Esta reta é perpendicular à reta dada e passa no ponto (0,0)

O coeficiente angular da reta dada é -2
Logo o coeficiente angular da reta que contém o centro da circunferência é 1/2

A equação da reta procurada é:   y-yo = m(x-xo)
                                                      y = 1/2x

b) O centro da circunferência procurada C(x,y) é equidistante dos pontos A(0,2) e da origem. Logo podemos escrever:

$[tex]x^2+y^2=x^2+(y-2)^2\\ \\ x^2+y^2=x^2+y^2-4y+4\\ \\ -4y+4=0\\ \\ y=1$[/tex]

c) Sendo a reta y=1/2x e y = -1, temos que a abscissa do centro é:

1 = 1/2x
x=2

Logo o centro da circunferência é (2,1)

d) Calculando o raio, que é a distância de (2,1) à origem:

$d=\sqrt{2^2+1^1}=\sqrt5$

e) escrevendo a equação da circunferência procurada (Centro (2,1) e raio 5

$(x-2)^2+(y-1)^2=5\\ \\ x^2-4x+4+y^2-2y+1-5=0\\ \\ \boxed{\boxed{x^2+y^2-4x-2y=0}}$