Question

Questão Algebra Linear

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a) Achando os autovalores:

det(A-λI) = 0

$A = \left[\begin{array}{ccc}2&-2&0\\0&1&0\\0&-3&3\end{array}\right]$

$A - \lambda\ I = \left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda&-2&0\\0&1 - \lambda&0\\0&-3&3 - \lambda\end{array}\right]$

$|A - \lambda\ I | = \left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda&-2&0\\0&1 - \lambda&0\\0&-3&3 - \lambda\end{array}\right] = 0$

$(2-\lambda)(1-\lambda)(3-\lambda) = 0\\\lambda = 1, 2\ e\ 3 - Autovalores$

Autovetores: Só subsitutir os λ na matriz A:

Autovetor associado ao autovalor 1:

$\left[\begin{array}{ccc}2 - 1&-2&0\\0&1 - 1&0\\0&-3&3 - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&-2&0\\0&0&0\\0&-3&2\end{array}\right]$

Autovetor associado ao autovalor 2:

$\left[\begin{array}{ccc}2 - 2&-2&0\\0&1 - 2&0\\0&-3&3 - 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&-2&0\\0&-1&0\\0&-3&1\end{array}\right]$

Autovetor associado ao autovalor 3:

$\left[\begin{array}{ccc}2 - 3&-2&0\\0&1 - 3&0\\0&-3&3 - 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-1&-2&0\\0&-2&0\\0&-3&0\end{array}\right]$

b) Como se trata de uma matriz triângular, entao o determinante será a multiplicação da diagonal principal. Assim, quando calcular o det(A - λI) = 0 o valor do autovalor será λ = 1, resultando no autovetor:

$\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&2\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{array}\right]$