Question

Questão aberta ...
FUNÇÃO...

Para $x \ \textgreater \ 0,$ determine a solução do problema de valor inicial $x^{2} y^{l } +xy=1$ com $y(1)=2$

Preciso de um passo a passo:

Answer 1

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Resolver o problema de valor inicial:

     $\mathsf{x^2y'+xy=1,\qquad y(1)=2,~~x>0.}$


Estamos interessados nas soluções cujo domínio são os reais positivos. Logo, podemos dividir os dois lados da equação por  x²:

     $\mathsf{\dfrac{x^2}{x^2}\cdot y'+\dfrac{x}{x^2}\cdot y=\dfrac{1}{x^2}}\\\\\\ \mathsf{y'+\dfrac{1}{x}\cdot y=\dfrac{1}{x^2}\qquad\quad(i)}$


A equação acima é uma equação diferencial ordinária, linear, não-homogênea, e a coeficientes não-constantes, escrita na forma

     $\mathsf{y'+p(x)\cdot y=q(x)}$


com  $\mathsf{p(x)=\dfrac{1}{x}}$  e  $\mathsf{q(x)=\dfrac{1}{x^2}.}$


Fator integrante:

     $\mathsf{\mu (x)=e^{\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{\int p(x)\,dx} \end{array}}}\\\\ \mathsf{\mu (x)=e^{\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\mathsf{\int \frac{1}{x}\,dx} \end{array}}}\\\\ \mathsf{\mu (x)=e^{\ell n(x)}}\\\\ \mathsf{\mu (x)=x}$


Multiplicando os dois lados da EDO pelo fator integrante,

     $\mathsf{x\cdot \left(y'+\dfrac{1}{x}\cdot y\right)=x\cdot \dfrac{1}{x^2}}\\\\\\ \mathsf{x\cdot y'+1\cdot y=\dfrac{1}{x}}\\\\\\ \mathsf{1\cdot y+x\cdot y'=\dfrac{1}{x}}\\\\\\ \mathsf{(x)'\cdot y+x\cdot y'=\dfrac{1}{x}}$


Podemos enxergar o lado esquerdo como a derivada de um produto:

     $\mathsf{(x\cdot y)'=\dfrac{1}{x}}$


Integrando ambos os lados com respeito a  x:

     $\mathsf{\displaystyle\int(x\cdot y)'\,dx=\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx}\\\\\\ \mathsf{x\cdot y=\ell n(x)+C}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{\ell n(x)+C}{x}}$


Para encontrar o valor da constante  C,  aplicamos o valor inicial à função encontrada:

     y = 2  quando  x = 1:

     $\mathsf{2=\dfrac{\ell n(1)+C}{1}}\\\\\\ \mathsf{2=\dfrac{0+C}{1}}\\\\\\ \mathsf{C=2}$


Portanto, a solução para o PVI dado é

     $\mathsf{y=\dfrac{\ell n(x)+2}{x}}$          ✔


Bons estudos! :-)

Answer 2

Seja y=f(x). Sabemos que a solução de um PVI da forma $y'+P(x)y=Q(x)$, com condição inicial $f(a)=b$ é dada por:

$f(x)=be^{-A(x)}+e^{-A(x)}\displaystyle\int_a^xQ(t)\cdot e^{A(t)}\,dt,$ onde $A(x)=\displaystyle\int_a^xP(t)\,dt$.

Desse modo, vamos manipular a equação dada para que fique na forma que está escrita na primeira linha desta resposta. Assim:

$x^2y'+xy=1\\\\\ y'+\dfrac{1}{x}\cdot y=\dfrac{1}{x^2},~~x\neq0$

Portanto, fazendo a associação do que foi obtido acima com a equação na forma padrão:

$y(1)=2\Longrightarrow a=1,~b=2\\\\ P(x)=\dfrac{1}{x},~Q(x)=\dfrac{1}{x^2}$

Agora, vamos calcular A(x):

$A(x)=\displaystyle\int_a^xP(t)\,dt\\\\ A(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t}\,dt\\\\ A(x)=[\ln(t)]_1^x\\\\ A(x)=\ln(x)-\underbrace{\ln(1)}_{=0}\\\\ A(x)=\ln(x)$

Vamos, finalmente, calcular a expressão de f(x):

$f(x)=be^{-A(x)}+e^{-A(x)}\displaystyle\int_a^xQ(t)\cdot e^{A(t)}\,dt\\\\ f(x)=2e^{-\ln(x)}+e^{-\ln(x)}\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t^2}\cdot e^{\ln(t)}\,dt\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t^2}\cdot t\,dt\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t}\,dt\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}[\ln(t)]^x_1\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}[\ln(x)-\underbrace{\ln(1)}_{=0}]\\\\f(x)=2x^{-1}+x^{-1}\ln(x)\\\\ \boxed{f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}}$