Question

QUESTÃO 9
Calcule o valor numérico da expressão: sen 2π - sec 4π/3 - cossec 5π/6​

Answer 1

Para resolvermos a expressão, primeiro vamos precisar fazer a redução dos arcos dados ao 1° quadrante, visto que 2π, 4π/3 e 5π/6 pertencem, respectivamente, ao 4°, 3° e 2° quadrantes.

Para fazermos a redução ao 1° quadrante, precisamos conhecer/lembrar da tabela de sen/cos/tg dos arcos notáveis e o sinal das funções em cada quadrante.

Para facilitar, vamos deixar em forma de tabela:

                 $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Angulo}}&^{~~0^\circ}_{0~rad}&^{~~ ~30^\circ}_{\pi/6~rad}&^{~~ ~45^\circ}_{\pi/4~rad}&^{~~ ~60^\circ}_{\pi/3~rad}&^{~~ ~90^\circ}_{\pi/2~rad}\\Seno&0&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\Cosseno&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&0\\Tangente&0&\dfrac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}&^{~nao}_{existe}\\\end{array}\right$

  $\begin{array}{c|c|c|c|c}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Quadrante}}&1^oquadrante&2^oquadrante&3^oquadrante&4^oquadrante\\Seno&+&+&-&-\\Cosseno&+&-&-&+\\Tangente&+&-&+&-\\\end{array}\right$

Vamos então fazer a redução de cada termo da expressão individualmente:

             $\left\begin{array}{c|c|c|c|}^{~\underline{Reducao~ao}}_{\underline{1^\circ~Quadrante}}&^{Arco~\theta~no~2^\circ}_{~Quadrante}&^{Arco~\theta~no~3^\circ}_{~Quadrante}&^{Arco~\theta~no~4^\circ}_{~Quadrante}\\&&&\\^{Arco~\theta~reduzido}_{ao~1^\circ~Quadrante}&^{180^\circ-\theta}_{~~\pi-\theta}&^{\theta-180^\circ}_{~\,\theta-\pi}&^{360^\circ-\theta}_{~\,2\pi-\theta}\end{array}\right.$

$\boxed{sen(2\pi)}~:\\\\\\No~4^\circ~quadrante~seno~\acute{e}~negativo.\\\\sen(2\pi)~=\,-sen(2\pi-2\pi)\\\\\boxed{sen(2\pi)~=\,-sen(0)}$

$\boxed{sec(4\pi/3)~=~\dfrac{1}{cos(4\pi/3)}}~:\\\\\\No~3^\circ~quadrante,~cosseno~\acute{e}~negativo.\\\\\dfrac{1}{cos(4\pi/3)}~=~\dfrac{1}{-cos(4\pi/3-\pi)}\\\\\\\boxed{\dfrac{1}{cos(4\pi/3)}~=\,-\dfrac{1}{cos(\pi/3)}}$

$\boxed{cossec(5\pi/6)~=~\dfrac{1}{sen(5\pi/6)}}~:\\\\\\No~2^\circ~quadrante,~seno~\acute{e}~positivo.\\\\\dfrac{1}{sen(5\pi/6)}~=~\dfrac{1}{sen(\pi-5\pi/6)}\\\\\\\boxed{\dfrac{1}{sen(5\pi/6)}~=~\dfrac{1}{sen(\pi/6)}}$

Por fim, podemos montar e calcular a expressão:

$sen(2\pi)~-~sec(4\pi/3)~-~cossec(5\pi/6)~=\\\\\\=~sen(0)~-~\left(-\dfrac{1}{cos(\pi/3)}\right)~-~\dfrac{1}{sen(\pi/6)}\\\\\\=~0~+~\dfrac{1}{\frac{1}{2}}~-~\dfrac{1}{\frac{1}{2}}\\\\\\=~0~+~2~-~2\\\\\\=~\boxed{~0~}$