Question

Questão 9 - Calcular quantos são os anagramas
da palavra MATEMÁTICA em que todas as
consoantes se encontram juntas.
a) 1890
b) 5600
c) 4500
d) 3600
e) 2768

me ajuda pfv.​ com explicação

Answer 1

A questão é interessante, pois trata de um anagramas de anagramas. Vou definir os colchetes como um indicador de permutação, ou seja, todos os elementos dentro do colchete podem ser permutados e formam um só termo denominado anagramas dos termos no colchetes. Assim, um Anagrama simples de Matemática seria simplesmente

$[\mathrm{MATEMATICA}]$

Queremos, no entanto, que as consoantes fiquem juntas, como fazemos isso? Primeiramente vamos retirar todas as vogais e adicioná-las uma vez que as consoantes permutem sempre juntas. Para isso colocamos os colchetes somente nas consoantes,

$[\mathrm{MTMTC}]$

Deste modo, o termo dentro do parênteses nunca terá uma vogal no meio, uma vez que permutamos só as consoantes. Mas as vogais podem permutar fora dessas consoantes, como fazemos isso? Utilizando a notação de colchetes, as vogais ficam fora desse colchete, mas ainda permutam, assim,

$[AE\,[MTMTC]\, AIA]$

Onde o colchete interno é considerado como só 1 letra que permuta. Ou seja, é um anagrama de vogais e um anagrama, ou seja, um anagrama de 6 letras com repetições em A (3 vezes)

$A^6_3=\dfrac{6!}{3!}=6*5*4=120$

Que tem a permutação de uma anagrama de 5 letras e repetições M (2 vezes) e T (2 vezes),

$A^5_{2,2}=\dfrac{5!}{2!2!}=\dfrac{5*4*3}{2}=30$

Assim, nosso número de anagramas total é a multiplicação destas permutações,

$A=A^6_3*A^5_{2,2} = 120*30=3600$

Um total de 3600 anagramas, alternativa d)