Question

QUESTÃO 8: Considere o quadrilátero abaixo de lado 2cm. É correto afirmar que a área
hachurada mede ?

Answer 1

Por meio de construção geométrica, descobrimos que a área mede $4-\frac{2}{3}\pi$

A primeira coisa a se reparar é que cada um dos "pedaços de circulos" tem raio igual a 2.

Portanto, a distancia do ponto D até ao ponto de interseção dos círculos mede 2cm.

Chamando o ponto de interseção de M

Desenhando o triangulo retangulo  reparamos que este tem hipotenusa $L=2$ e um dos catetos com medida $\frac{L}{2}$

Tomando o angulo destacado (que vcamos descobrir ser 30°) podemos tomar o seno deste angulo que será

$sen(x)=\dfrac{\frac{L}{2}}{L}=\dfrac{1}{2}$

E o angulo que tem seno igual a 1/2 é o seno de 30º.

Uma vez que descobrimos o angulo, fica fácil encontrar a área deste setor de disco.

A área do circulo completo de raio igual a 2 cm será $\pi r^2=4\pi$

A área de um setor de 30º será a fração $\frac{1}{12}\pi r^2$ por que $\frac{30}{360}=\frac{1}{12}$.

Além desta área, temos a outra área em branco que é um triangulo de altura 1 cm e lado aproximadamente igual a 1,7 cm (obtido da fórmula $lado=hipotenusa\timescos(30^\circ)$

E pela formula da área do triangulo, teremos

area $=\frac{1\times1,7}{2}=0,85$

Somando as duas áreas em branco teremos

$0,85+\dfrac{1}{12}\times4\pi$

$0,85+\dfrac{1}{3}\times\pi$

A área pintada de cinza é 0,1 (na metade superior do quadrado) pois tem medida igual ao retângulo superior menos as duas áreas que calculamos antes:

Area cinza = $2 -0,85-\dfrac{1}{3}\times\pi=0,1$

Mas esta é só a parte de cima.

A parte de baixo também vai medir a mesma coisa.

Portanto a área da parte pintada de cinza é 0,2 cm