Questão 7 - Sabemos que na equação biquadrada o resultado são 4 raízes, então indique quais são elas na equação x4 - 6x + 5 = 0.
a) S = {1,2,3,4}
b) S = { 1, 1, 5, 5 }
c) S = {5, 5, 6, 6}
d) S = {1, 1, V5, V5}
Soluções para a tarefa
1. Expresse o vetor u = (-1, 4, -4, 6) ∈
4 ℜ como combinação linear dos vetores
v1 = (3, -3, 1, 0), v2 = (0, 1, -1, 2) e v3 = (1, -1, 0, 0).
Solução.
Temos que encontrar escalares α, β, γ tal que
(-1, 4, -4, 6) = α (3, -3, 1, 0) + β (0, 1, -1, 2) + γ (1, -1, 0, 0).
O que equivale resolver o sistema:
γ = 2
α = −1
β = 3
⇒
2β = 6
α − β = −4
− 3α + β − γ = 4
3α + γ = −1
.
Logo, u = - v1 + 3v2 + 2v3.
2. Determine os subespaços do 3 ℜ gerados pelos seguintes conjuntos:
(a) A = {(2, -1, 3)}
(b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2, 1)}
(c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1, 0)}
Solução.
(a) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A.
Então, (a, b, c) = x(2, -1, 3)
Daí,
2
3
x a
x b
x c
=
− =
=
Logo, S= {(a, b, c) 3 ∈ℜ / a = -2b e c = -3b} = {(-2b, b, -3b)/ b ∈ℜ}.
(b) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A.
Então, (a, b, c) = x(-1, 3, 2) + y(2, -2, 1)
Daí,
2 + =
3 − 2 =
− + 2 =
x y c
x y b
x y a
.
Escalonando,
2 1
3 − 2
−1 2
c
b
a
L1 ← −L1 ⇒
2 1
3 − 2
1 − 2 −
c
b
a
L2 ← −3L1 + L2 ⇒
2 1
0 4 3 +
1 − 2 −
c
a b
a
3 1 + 3 L ← −2L L ⇒
0 5 2 +
0 4 3 +
1 − 2 −
a c
a b
a
.
Obtemos o seguinte sistema equivalente:
=
=
5
2 +
4
3 +
a c
a b
y
y
⇒ 7.a +5b -4c = 0.