Question

questao 5: sabe-se que 16^x=9 e log2 na base 3=y. nessas condições, é verdade que:
a) x=2y
b) y=2x
c) xy=1/2
d) x-y=2
e) x+y=4

Answer 1

Podemos escrever 16 como 4 elevado a 2 ou 2 elevado a 4 e 9 como 3 elevado a 2 
16 = 4 elevado a 2 = 2 elevado a 4 
9 = 3 elevado a 2 

Logo: 
16 (elevado a x) =9 
(4 elevado a 2) elevado a x = 3 elevado a 2 

Pela regra da potenciação: 
(4 elevado a 2) elevado a x = (4 elevado a x) elevado a 2 

Então: 
(4 elevado a 2) elevado a x = 3 elevado a 2 
(4 elevado a x) elevado a 2 = 3 elevado a 2 

Se os dois lados estão elevado a 2, então: 
4 elevado a x = 3 

4 é o mesmo que 2 elevado a 2, logo: 
4 elevado a x = 3 
(2 elevado a 2) elevado a x = 3 

Pela propriedade: 
(2 elevado a 2) elevado a x = 3 
2 elevado a 2x = 3 

Passando para logaritmo: 
2x = log 3 (base 2) 

Passando para log, teremos: Log 2 (base 3) = y 

Fazendo a mudança de bases para a base 2, teremos: 

Log 2 (base 3) = Log 2(base 2)/Log 3 (base 2) 

Sabemos que Log 3 (base 2) = 2x, Log 2(base 2) = 1 e Log 2 (base 3) = y, substituindo tudo teremos: 

Log 2 (base 3) = Log 2(base 2)/Log 3 (base 2) 
y = 1/(2x) 
y.2x = 1 
y.x = 1/2 

Então no seu caso é a letra (C)