Question

QUESTÃO 44) Em uma progressão geométrica crescente, a diferença entre os dois primeiros termos é 40 e a razão (q) vale metade do primeiro termo. Nessas condições, o produto entre o primeiro termo e a razão é

Answer 1

O produto entre o primeiro termo e a razão é 50.

O termo geral de uma progressão geométrica é definido por aₙ = a₁.qⁿ⁻¹, sendo:

• a₁ = primeiro termo
• q = razão
• n = quantidade de termos.

De acordo com o enunciado, a₂ - a₁ = 40 e q = a₁/2.

De a₂ - a₁ = 40, podemos dizer que:

a₁.q - a₁ = 40

a₁(q - 1) = 40

a₁ = 40/(q - 1).

Substituindo o valor de a₁ em q = a₁/2, obtemos:

2q = a₁

2q = 40/(q - 1)

2q(q - 1) = 40

2q² - 2q - 40 = 0

q² - q - 20 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-1)² - 4.1.(-20)

Δ = 1 + 80

Δ = 81

$q=\frac{1+-\sqrt{81}}{2}$

$q=\frac{1+-9}{2}$

$q'=\frac{1+9}{2}=5$

$q''=\frac{1-9}{2}=-4$.

Como a progressão geométrica é crescente, então q = 5.

Assim, o primeiro termo é igual a:

5 = a₁/2

a₁ = 5.2

a₁ = 10.

Portanto, o produto a₁.q é igual a 10.5 = 50.