Question

(QUESTÃO 42 - TERMOMECÂNICA 2012)
Considere a equação 3x2 – bx + c = 0, onde uma das raízes é $\frac{1}{3}$ e o produto das raízes é 1.
Nessas condições, os valores de b e c são, respectivamente:

(A) 10 e 3.
(B) 10 e −3.
(C) 3 e −10.
(D) −3 e −10.

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf 3x {}^{2} - bx + c = 0$

Pelo enunciado, é sabido que o produto das raízes resultado em 1 e uma das raízes é 1/3. Utilizando as relações de Girard, sabemos que:

$\sf r_1 \: . \: r_2 = \frac{c}{a} , \: sendo \: r \: as \: ra \acute{i}zes$

Os termos "c" e "a" são os coeficientes da equação do segundo grau em estudo. Portanto, sabemos que esses tais coeficientes são:

$\sf 3x {}^{2} - bx + c = 0 \: \to \: \begin{cases} \sf a = 3 \\ \sf b = - b \\ \sf c = c\end{cases}$

Substituindo a informação que o produto das raízes é 1 e esses dados acima, temos que:

$\sf r_1 \: . \: r_2 = \frac{c}{a} \: \: \to \: \: 1 = \frac{c}{3} \: \: \to \: \: c = 3$

Para encontrar o valor de "b", vamos apenas substituir o dado de que uma das raízes é 1/3, ou seja, basta substituir no local de x:

$\sf 3x {}^{2} - bx + c = 0 \: \: \to \: \: 3. \left(\frac{1}{3} \right ) {}^{2} - b. \frac{1}{3} + c = 0 \\ \\ \sf \frac{1}{3} - \frac{b}{3} + c = 0 \: \: \to \: \: \frac{ 1 - b}{3} + c = 0$

Como sabemos, o valoe de c é 3, então:

$\sf \frac{1 - b}{3} + 3 = 0 \: \: \to \: \: \frac{1 - b}{3} = - 3 \\ \\ \sf 1 - b = - 9 \: \: \to \: \: \boxed{ \sf b = 10}$

Espero ter ajudado