Question

Questão 42

Simplificando a expressão $\dfrac{4^{1009}-4^{1008}}{2^{2017}-2^{2016}}$ encontramos o valor:

(a) 1
(b) 1/2
(c) 3/2
(d) 3
(e) 4

Lembre-se que respostas só com a alternativa correta não são válidas.

Answer 1

O que foi usado para resolução :

1) caso : coloquei o termo comum em evidência!

2) caso : subtrai os os números ( 4 -1 ) .

3) caso: simplifiquei a expressão multiplicando os expoentes.

4)caso : simplifiquei a fração dividindo a mesma por um fator 2 ^2016

$\frac{4^{1009} - 4^{1008} }{2^{2017} - 2^{2016} } \\ \\ \frac{(4 - 1).4^{1008} }{(2 - 1).2^{2016} } \\ \\ \frac{3.(2^{2})^{1008} }{1.2^{2016} } \\ \\ \frac{3.2^{2016} }{2 ^{2016} } \\ \\ 3 \\ \\ \\ resposta \: \: 3$
alternativa : d

Answer 2

Olá.

 

Temos a expressão:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\dfrac{4^{1009}-4^{1008}}{2^{2017}-2^{2016}}} \end{array}$

 

Para resolver essa questão, o primeiro passo é fatorar o 4 (que ficará 2²) e usar uma propriedade de potências que apresento abaixo:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\left(a^n\right)^m=a^{a\cdot m}} \end{array}$

 

Aplicando o que foi citado, teremos:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\dfrac{4^{1009}-4^{1008}}{2^{2017}-2^{2016}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left(2^2\right)^{1009}-\left(2^2\right)^{1008}}{2^{2017}-2^{2016}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2^{2\cdot1009}-2^{2\cdot1008}}{2^{2017}-2^{2016}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2^{2.018}-2^{2.016}}{2^{2017}-2^{2016}}} \end{array}$

 

O próximo passo agora é colocar um termo em evidência no numerador e no denominador, de modo que esse termo possa ser “cortado”/anulado. Usarei uma outra propriedade de potências para multiplicação de potências de mesma base:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{a^{b+c}=a^b\cdot a^c} \end{array}$

 

O termo a ser colocado em evidência tem expoente igual a 2016. Vamos aos cálculos, cortando e desenvolvendo após de colocar em evidência.

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\dfrac{2^{2.018}-2^{2.016}}{2^{2017}-2^{2016}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2^{2.016}\cdot2^2-2^{2.016}}{2^{2016}\cdot2-2^{2016}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2^{2016}\left(2^2-1\right)}{2^{2016}\left(2-1\right)}=}\end{array}$

$\Large\begin{array}{l}\mathsf{\dfrac{\diagup\!\!\!\!2^{2016}\left(2^2-1\right)}{\diagup\!\!\!\!2^{2016}\left(2-1\right)}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2^2-1}{2-1}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{4-1}{1}=}\\\\\\ \boxed{\mathsf{\dfrac{3}{1}=3}} \end{array}$

 

Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa D.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$