Question

Questão 40

Na figura a seguir, ABC é um triângulo equilátero cuja altura CM é diâmetro de uma circunferência de centro O. Os lados BC e AC intersectam tal círculo nos pontos P e R, respectivamente, de modo que PB = AR = 2. Nesse caso, qual é a medida do segmento MP?

(a) 2√3
(b) 2√3/3
(c) 3√2
(d) 3√2/2
(e) 5√2/3

Lembre-se que respostas só com a alternativa correta não são válidas.

Answer 1

Traçando as retas AO e BO, chegamos a triângulos isósceles. Perceba que podemos usar a relação de reta tangente por secante, vou chamar o lado AC de x:
x²/4=2x
x²=8x
x²-8x=0
Perceba que aqui só temos dois valores possíveis, 0 e 8. Como não existe medida nula, x=8. A altura de um triângulo equilátero é igual a l²√3/4, então a altura do triangulo ABO vale metade disso, l²√3/8.

Chegamos no triângulo retângulo BMO. Fazendo teorema de pitagoras no triângulo MBP chegamos a

(8/2)²=4+MP²
16-4=MP²
MP=√12
MP=2√3

Alternativa A

Answer 2

A medida do segmento MP é igual a 2√3.

Do enunciado, temos a informação de que ABC é um triângulo equilátero. Isso significa que todos os lados possuem a mesma medida. Consequentemente, todos os ângulos internos são iguais e medem 180/3 = 60º.

Ao traçarmos o segmento MP, obtemos um triângulo retângulo MPB.

Perceba que o ângulo B mede 60º, o cateto adjacente mede 2, segundo o enunciado, e o cateto oposto ao ângulo de 60º é MP.

A tangente é uma razão trigonométrica definida pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Sendo assim, temos que:

tg(60) = MP/2

Vale lembrar que a tangente de 60º é igual a √3. Assim:

√3 = MP/2

MP = 2√3.

Portanto, a alternativa correta é a letra a).

Para mais informações sobre razão trigonométrica: https://brainly.com.br/tarefa/19394259