Questão 4: No sistema abaixo, a é um número real constante.
4x-y^2+4=0
x^2-2ax+y^2=a^2.
Nestas condições
(a) Determine os valores de a para os quais o sistema admite solução.
(b) Determine o(s) valor(es) de a para os quais há um único valor de x satisfazendo o sistema.
(c) É possível que o sistema admita uma única solução, isto é, haja um único ponto (x,y) satisfazendo o sistema? Em caso afirmativo, qual é o valor de a para o qual isso acontece?
Soluções para a tarefa
Resposta:
As soluções são:
a) O intervalo a ≤ 1 - √2 ou a ≥ 2.
b) Admite uma solução para x = -1, quando a = 1 - √2.
c) O sistema possui uma solução única, quando a = 1 - √2 que é o par (-1,0).
Explicação passo a passo:
Para responder a esta questão vamos utilizar a resolução de sistemas e aplicar as condições apresentadas no enunciado.
Dado o sistema
Da primeira equação temos
y² = 4x + 4 ⇒ y = √4x+4 ⇒ x ≥ - 1
a) Determine os valores de "a" para os quais o sistema admite solução.
Substituindo a primeira equação na segunda temos:
x² - 2ax + 4x + 4 - a² = 0
x² + (4 - 2a).x + (4-a²) = 0
Para que se tenha solução devemos ter Δ ≥ 0.
(4 - 2a)² - 4.(4-a²) ≥ 0
16 - 16a + 4a² - 16 + 4a² ≥ 0
8a² - 16a ≥ 0
a ≤ 0 ou a ≥ 2
Por outro lado,
x² - 2ax + a² = 2a² - y²
(x - a)² = 2a² - y²
x = √(2a² - y²) + a ≥ - 1
√(2a² - y²) ≥ - 1 - a
2a² - y² ≥ 1 + 2a + a²
a² - 2a - 1 ≥ 0
a ≤ 1 - √2 ou a ≥ 1 + √2
Dessa forma aplicando as condições os valores de "a" para que o sistema possua solução são:
a ≤ 1 - √2 ou a ≥ 2
b) Determine o(s) valor(es) de a para os quais há um único valor de x satisfazendo o sistema.
Só temos um único valor de x quando y = 0
4x - y² + 4 = 0
4x + 4 = 0
x = - 1
c) É possível que o sistema admita uma única solução, isto é, haja um único ponto (x,y) satisfazendo o sistema? Em caso afirmativo, qual é o valor de a para o qual isso acontece?
Sim, admite uma única solução para x = -1 e y =0, isto é, o par (-1,0).