Question

Questão 4 (Aeronáutica 2021) Um professor escreveu uma progressão aritmética crescente de 8 termos começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais. Ele notou, então, que o segundo, o quarto e o oitavo termos dessa progressão aritmética formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica. O professor observou também que a soma dos termos dessa progressão geométrica era igual a

a)42
b)36
c)18
d)9​

Answer 1

PA = (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈)

PA = (3, 3 + r, 3 + 2r, 3 + 3r, 3 + 4r, 3 + 5r, 3 + 6r, 3 + 7r)

PG = (a₂, a₄, a₈)

PG = (3 + r, 3 + 3r, 3 + 7r)

Propriedade da PG:

a₄² = a₂ · a₈

(3 + 3r)² = (3 + r) · (3 + 7r)

9 + 18r + 9r² = 9 + 21r + 3r + 7r²

9r² - 7r² + 18r - 24r = 0

2r² - 6r = 0

2r (r - 3) = 0

r - 3 = 0

r = 3

Soma dos termos da PG:

PG = (3 + r, 3 + 3r, 3 + 7r)

PG = (3 + 3, 3 + 9, 3 + 21)

PG = (6, 12, 24)

6 + 12 + 24 = 42

Answer 2

A soma dos termos da progressão geométrica é igual 42

Progressão aritmética

Quando temos uma relação onde o próximo termo equivale à soma dos anteriores

Como resolvemos ?

Primeiro: Dados da questão

• Temos 8 termos a P.A.

• E começa no valor 3

• E os termos 2, 4 e 8 formam uma P.G.

Segundo: Descobrindo a razão

• Podemos escrever os termos 2, 4 e 8,como:

$a_{2} = a_{1} +(n-1).r\\\\a_{2} = 3 +(2-1).r\\\\a_{2} = 3 +1r$

$a_{4} = a_{1} +(n-1).r\\\\a_{4} = 3 +(4-1).r\\\\a_{4} = 3 +3r$

$a_{8} = a_{1} +(n-1).r\\\\a_{8} = 3 +(8-1).r\\\\a_{8} = 3 +7r$

• Os termos da PG é igual a (3 + r, 3 + 3r, 3 + 7r)

• Usando a média geométrica:

$a_{4} = \sqrt{a_{2} .a_{8} } \\\\a_{4}^{2} = (\sqrt{a_{2} .a_{8} } )^{2} \\\\a_{4}^{2} = a_{2} .a_{8} \\\\(3+3r)^{2} = (3 + 3r).(3+7r)\\\\9 + 18r + 9r^{2} = 9 + 21r+3r+7r^{2} \\\\9r^{2} - 7r^{2} +9 -9 = 24r - 18r\\\\2r^{2} = 6r\\\\r^{2} = \frac{6}{2} r\\\\\frac{r^{2}}{r} = \frac{3r}{r} \\\\r = 3$

Terceiro: Soma dos termos da P.G.

• A soma da seguirá a ordem de (3 + r, 3 + 3r, 3 + 7r)

$(3 + r, 3 + 3r, 3 + 7r)\\\\(3 + 3, 3 + 3.(3), 3 + 7.(3))\\\\(6, 3 + 9, 3 + 21)\\\\( 6, 12, 24)$

• Soma dos termos:

$6 +12 + 24= 42$

Portanto, a soma dos termos da progressão geométrica é igual 42

Veja essa e outras questões sobre Progressão aritmética em:

https://brainly.com.br/tarefa/6535552

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